Mostrare che esiste una retta che "attraversa" internamente il rettangolo senza attraversare nessuna delle 18 caselle
Rettangolo 6*6 con una retta che taglia
Rettangolo 6*6 con una retta che taglia
Un rettangolo 6*6 è riempito da piastrelle 2*1.
Mostrare che esiste una retta che "attraversa" internamente il rettangolo senza attraversare nessuna delle 18 caselle
Mostrare che esiste una retta che "attraversa" internamente il rettangolo senza attraversare nessuna delle 18 caselle
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Quando la gente va al mare si lascia sfuggire dei problemi... 
Senza perdita di generalità assumiamo che il numero di piastrelle "coricate" sia maggiore del numero di piastrelle "in piedi".
Ora associamo ad ogni piastrella il suo lato più basso. La somma della lunghezze di tali lati è $ L \geq 9 \cdot 2+9=27 $.
Ora sottraiamo 6 a tale numero (che corrispondono alle caselle che toccano il bordo inferiore) e otteniamo il numero di lineette lunghe 1 orizzontali interne al quadrato, che sono dunque almeno 21. Per pigeonhole abbiamo che una delle 5 linee orizzontali che attraversano internamente il quadrato contiene almeno 5 lineette orizzontali (cioè lascia solo un passaggio).
Per concludere verifichiamo che se una linea ne ha 5 ne ha per forza 6, cioè esiste la retta da noi cercata. Supponiamo per assurdo che una linea ne contenga solo 5. Allora il la piastrella che lascia il buco è verticale e sta a cavallo di tale linea. Ora diventa impossibile completare la "pavimentazione" con le piastrelle 2*1 poichè abbiamo separato il quadrato in 2 parti ognuna con un numero dispari di caselle.
Senza perdita di generalità assumiamo che il numero di piastrelle "coricate" sia maggiore del numero di piastrelle "in piedi".
Ora associamo ad ogni piastrella il suo lato più basso. La somma della lunghezze di tali lati è $ L \geq 9 \cdot 2+9=27 $.
Ora sottraiamo 6 a tale numero (che corrispondono alle caselle che toccano il bordo inferiore) e otteniamo il numero di lineette lunghe 1 orizzontali interne al quadrato, che sono dunque almeno 21. Per pigeonhole abbiamo che una delle 5 linee orizzontali che attraversano internamente il quadrato contiene almeno 5 lineette orizzontali (cioè lascia solo un passaggio).
Per concludere verifichiamo che se una linea ne ha 5 ne ha per forza 6, cioè esiste la retta da noi cercata. Supponiamo per assurdo che una linea ne contenga solo 5. Allora il la piastrella che lascia il buco è verticale e sta a cavallo di tale linea. Ora diventa impossibile completare la "pavimentazione" con le piastrelle 2*1 poichè abbiamo separato il quadrato in 2 parti ognuna con un numero dispari di caselle.
Hypotheses non fingo