Probabilmente un classico
Probabilmente un classico
Determinate il rapporto tra la profondità apparente e quella reale di una piscina piena d’acqua. [indice di rifrazione dell’acqua $ n_{a}=1.33 $]
Posto la mia soluzione, nella speranza che venga fuori quella giusta (che probabilmente non coincide con la mia).
La distanza reale è $ h $. La distanza apparente invece, che indico come $ h_{A} $ dipende dal fatto che l'osservatore (che osserva da $ I $) vede il segmento $ j $ pensando che sia il segmento $ d $.
Quindi $ h_{A}=j\cdot \cos{\theta} $ mentre $ h=j\cdot \cos{\beta} $.
Cioè $ \displaystyle x=\frac{h_A}{h}=\frac{\cos{\theta}}{\cos{\beta}} $.
Dalla relazione $ \sin{\theta}=n_A\cdot \sin{\beta} $ ottengo $ \displaystyle \cos^2{\beta}=1-\frac{\sin^2{\theta}}{n^2_A} $.
$ x=\displaystyle \frac{\sqrt{1-sin^2{\theta}}}{\sqrt{1-\frac{\sin^2{\theta}}{n^2_A}}}=n_A\sqrt{\frac{1-\sin^2{\theta}}{n^2_A-\sin^2{\theta}} $.
E ora non ho proprio idea di come potrei far sparire magicamente l'angolo, o se non altro aggiustare quel rapporto.
Effettivamente però l'angolo conta qualcosa..
ico, te come avevi fatto?
La distanza reale è $ h $. La distanza apparente invece, che indico come $ h_{A} $ dipende dal fatto che l'osservatore (che osserva da $ I $) vede il segmento $ j $ pensando che sia il segmento $ d $.
Quindi $ h_{A}=j\cdot \cos{\theta} $ mentre $ h=j\cdot \cos{\beta} $.
Cioè $ \displaystyle x=\frac{h_A}{h}=\frac{\cos{\theta}}{\cos{\beta}} $.
Dalla relazione $ \sin{\theta}=n_A\cdot \sin{\beta} $ ottengo $ \displaystyle \cos^2{\beta}=1-\frac{\sin^2{\theta}}{n^2_A} $.
$ x=\displaystyle \frac{\sqrt{1-sin^2{\theta}}}{\sqrt{1-\frac{\sin^2{\theta}}{n^2_A}}}=n_A\sqrt{\frac{1-\sin^2{\theta}}{n^2_A-\sin^2{\theta}} $.
E ora non ho proprio idea di come potrei far sparire magicamente l'angolo, o se non altro aggiustare quel rapporto.
Effettivamente però l'angolo conta qualcosa..
ico, te come avevi fatto?
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Beh se nel testo non è specificato puoi tranquillamente lasciare il risultato "brutto" come ha fatto EUCLA (il procedimento che ho usato io è lo stesso, e penso sia l'unico col quale si possa risolvere questo problema); magari come bonus puoi dire che per angoli sufficientemente piccoli il rapporto tende ad essere 1.Pigkappa ha scritto:Per qualche motivo che mi è difficile da comprendere, quando viene dato questo problema si intende sempre che l'angolo sia piccolo, anche se spesso nel testo non viene detto.
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."