onde su una corda (sns 1999/2000)

[Aster]

3. Un cavo teso orizzontalmente da un peso P in B e sollecitato verticalmente
vicino ad A diventa sede di un’onda elastica che si propaga con
velocità v lungo il cavo stesso. Il peso della corda è piccolo rispetto a P,
così come è piccolo lo spostamento verticale rispetto al segmento AB.

(a) La velocità v dipende da P e dalla densità per unità di lunghezza μ
del cavo. Come?

(b) Si supponga ora il cavo composto di due pezzi di metalli diversi di
densità μ1 e μ2 e lunghezze l1 e l2, giuntati in C, e che la perturbazione
della corda sia sinusoidale con periodo T. Quale condizione
deve essere soddisfatta affinché possa stabilirsi nella corda un’onda
stazionaria con nodi in A, B e C?

(c) Qual è la minima frequenza alla quale si osserva l’onda
stazionaria?

(d) In questo caso, quanti nodi si osservano sulla corda, inclusi A, C e
B?

[Alex90]

a) $ \displaystyle v=\sqrt{\frac{\tau}{\mu}}=\sqrt{\frac{P}{\mu}} $

[Aster]

a) $ \displaystyle v=\sqrt{\frac{\tau}{\mu}}=\sqrt{\frac{P}{\mu}} $

wow...non lo sapevo
sono qui per gli altri punti; al secondo stavo per rispondere che le lunghezze dei due segmenti devono avere un rapporto razionale (perché ognuno dei due deve contenere un numero intero di mezze lunghezze d'onda), però poi il fatto che abbiano densità diverse e dunque velocità e lunghezze d'onda diverse mi fa inceppare...

poi c) e d) dovrebbero risultar facili

[Rigel]

Allora, ci provo...
L'onda stazionaria ha la stessa frequenza e dunque lo stesso periodo su tutta la corda. perchè ci siano i nodi in A, B e C devo avere
$ $l_1=(2k_1+1)\frac{\lambda_1}{2}$ $
$ $l_2=(2k_2+1)\frac{\lambda_2}{2}$ $
con $ k_1, k_2 \in\mathbb{N} $
D'altra parte $ \lambda_1=Tv_1 $ e $ $v_1=\sqrt{\frac{P}{\mu_1}}$ $, quindi $ $\l_1=(2k_1+1)\frac{T}{2}\sqrt{\frac{P}{\mu_1}}$ $
Analogamente per $ \lambda_2 $ e quindi mi ricavo la condizione
$ $\frac{l_1\sqrt{\mu_1}}{(2k_1+1)}=\frac{l_2\sqrt{\mu_2}}{(2k_2+1)}$ $, cioè
$ $\frac{l_1\sqrt{\mu_1}}{l_2\sqrt{\mu_2}}=k$ $
con $ k\in\mathbb{Q} $ essendo il rapporto di due interi dispari.

[Aster]

il pensiero mi aveva sfiorato, ma senza la minima spiegazione
comunque grazie 1000! hai un bel nick, quindi dovevi per forza rispondere bene!
solo un piccolo dubbio: perché hai usato due numeri dispari? nn basta che siano interi?

[Algebert]

solo un piccolo dubbio: perché hai usato due numeri dispari? nn basta che siano interi?

E' vero, i nodi su un'onda stazionaria non sono separati da una distanza $ $x = n\frac{\lambda}{2}$ $?
Comunque alla fine cambia poco, perchè il rapporto è comunque razionale.