Un aereo sta volando in linea retta ad un'altezza pari a $ \displaystyle 1\ \textrm{Km} $ dal terreno. Dalla torre di controllo, di altezza trascurabile rispetto al terreno, si sente il boom sonico dell'aereo $ \displaystyle 2,5\ \textrm{s} $ dopo che quest'ultimo è passato sopra di essa. Ponendo la velocità del suono pari a $ \displaystyle 340\ \mathrm{\frac{m}{s}} $, trovare la velocità dell'aereo.
Dopo il boom sonico si sente il suono dei motori dell'aereo, modificato dall'effetto Doppler. Considerando l'aereo una sorgente sonora con frequenza $ \displaystyle f_0 $, si scriva una formula per la frequenza $ \displaystyle f $ udita nella torre di controllo. Dove si trova l'aereo quando si ode una frequenza pari a $ \displaystyle \frac{f_0}{2} $?
SNS 2008/2009 problema 6
SNS 2008/2009 problema 6
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
? Dai, ora che ho provato a rifarlo, non mi sembra poi così difficile 
.In effetti non è poi così difficile...
Punto a. Allora in figura è rappresentato il moto dell'aereo a velocità supersonica. $ v_a $ e $ v_s $ sono le velocità dell'aereo e del suono. La torre si trova in A, mentre l'aereo sta in B nel momento in cui parte il boom sonico udito dalla torre, quando l'aereo è arrivato in C. Supponendo che i simboli delle figura siano chiari, applico il secondo teorema di Euclide.
$ $(1000m)^2=v_at\cdot2,5sv_a \Rightarrow v_a^2=\frac{400000m^2/s}{t}$ $
Per ricavare t applico il primo teorema di Euclide:
$ (t+2,5s)^2v_s^2=v_at\cdot(t+2,5s)v_a \Rightarrow v_a^2t-v_s^2t=2,5sv_s^2 $
$ $t=\frac{2,5sv_s^2}{v_a^2-v_s^2}$ $
Sostituendo (e "scordando" di scrivere le unità di misura che mi incasinano) ottengo
$ $v_a^2=\frac{160000(v_a^2-v_s^2)}{v_s^2}$ $
$ $v_a^2v_s^2=160000v_a^2-160000v_s^2$ $
$ $v_a^2=\frac{160000v_s^2}{160000-v_s^2}$ $
$ $v_a=\frac{400v_s}{\sqrt{160000-v_s^2}}=$ $
$ =$\frac{400\cdot340}{\sqrt{160000-115600}}$ $
$ $\approx645,4m/s=2323,5km/h$ $
Per quanto riguarda il punto b, non credo che riuscirei a spiegare senza fare un'altro disegno
e quindi lascio spazio a qualcun altro...
Punto a. Allora in figura è rappresentato il moto dell'aereo a velocità supersonica. $ v_a $ e $ v_s $ sono le velocità dell'aereo e del suono. La torre si trova in A, mentre l'aereo sta in B nel momento in cui parte il boom sonico udito dalla torre, quando l'aereo è arrivato in C. Supponendo che i simboli delle figura siano chiari, applico il secondo teorema di Euclide.
$ $(1000m)^2=v_at\cdot2,5sv_a \Rightarrow v_a^2=\frac{400000m^2/s}{t}$ $
Per ricavare t applico il primo teorema di Euclide:
$ (t+2,5s)^2v_s^2=v_at\cdot(t+2,5s)v_a \Rightarrow v_a^2t-v_s^2t=2,5sv_s^2 $
$ $t=\frac{2,5sv_s^2}{v_a^2-v_s^2}$ $
Sostituendo (e "scordando" di scrivere le unità di misura che mi incasinano) ottengo
$ $v_a^2=\frac{160000(v_a^2-v_s^2)}{v_s^2}$ $
$ $v_a^2v_s^2=160000v_a^2-160000v_s^2$ $
$ $v_a^2=\frac{160000v_s^2}{160000-v_s^2}$ $
$ $v_a=\frac{400v_s}{\sqrt{160000-v_s^2}}=$ $
$ =$\frac{400\cdot340}{\sqrt{160000-115600}}$ $
$ $\approx645,4m/s=2323,5km/h$ $
Per quanto riguarda il punto b, non credo che riuscirei a spiegare senza fare un'altro disegno
e quindi lascio spazio a qualcun altro...- Allegati
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"Non ho particolari talenti, sono solo appassionatamente curioso." Albert Einstein
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gmascellani
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Per il secondo punto, io ho risolto calcolandomi l'effetto Doppler con osservatore fermo e sorgente in moto (la lunghezza dell'onda ricevuta è uguale alla somma della lunghezza percorsa dal suono e dalla sorgente in un periodo) ed applicandolo alla velocità radiale dell'aereo rispetto alla torre di controllo (derivando la distanza aereo-torre rispetto al tempo).
Credo che sia giusto, ma non ci metto la mano sul fuoco.
Credo che sia giusto, ma non ci metto la mano sul fuoco.