SNS 2008/2009 problema 2

[Algebert]

Data una circonferenza $ $C$ $ di raggio $ $r$ $ e centro $ $O$ $ e due punti distinti $ $A$ $ e $ $B$ $ esterni alla circonferenza tali che $ $\overline{OA} = \overline{OB} = R$ $ con $ $R > r$ $, e detto $ \displasystyle \alpha $ l'angolo $ $\widehat{AOB}$ $, con $ $0 < \alpha < \pi$ $, si trovi la lunghezza del minimo percorso che congiunge $ $A$ $ e $ $B$ $ toccando in almeno un punto la circonferenza ma senza oltrepassarla.

[Davide90]

Ci provo...

Consideriamo due casi:

1)La retta passante per A e B non interseca la crf.

In questo caso il percorso di lunghezza minima è costituito dai segmenti AP e PB, dove P è l'intersezione tra la bisettrice di AOB e la circonferenza.
Il ragionamento con cui lo dimostro però non so quanto sia formalmente corretto...
Consideriamo il luogo dei punti tali che la somma delle distanze da A e da B sia la stessa: questo luogo geometrico è l'ellisse di fuochi A e B. Ora, noi cerchiamo il punto della crf per cui la distanza sia minima, dunque cerchiamo l'ellisse più piccola che abbia un punto in comune con la crf. Questa è l'ellisse tangente alla crf.

Si dimostra facilmente che $ AP=PB $ con considerazioni sui triangoli $ AOB $, isoscele per ipotesi, e $ APB $.
Applicando il teorema di Carnot al triangolo $ OPB $, si ha che il percorso totale è $ AP+PB=2\cdot\sqrt {R^2+r^2-2Rr\cos{\frac{\alpha}{2}} $.

2) La retta passante per A e B interseca la crf.

In questo caso il percorso minimo è costituito dai due segmenti delle tangenti condotte da A e da B, più la lunghezza dell'arco compreso tra i due punti di tangenza, che indichiamo rispettivamente A' e B'.

Per la similitudine dei triangoli AA'O e BB'O, $ AA'=BB'=\sqrt {R^2-r^2} $
La lunghezza dell'arco A'B' è uguale a $ r \cdot (\widehat {AOB} - 2 \widehat {AOA'})=r \cdot (\alpha - 2 \arccos \frac {r}{R}) $.
Il percorso totale è quindi $ 2 \cdot \sqrt {R^2-r^2}+r \cdot (\alpha - 2 \arccos \frac {r}{R}) $

Spero di non avere scritto troppe cavolate...

[Alex90]

...toccando in almeno un punto la circonferenza ma senza oltrepassarla.

Non capisco il senso di quel "ma senza oltrepassarla"...traduttori?

[Algebert]

Semplice la linea (o spezzata o arco o quello che viene fuori) congiungente i punti $ $A$ $ e $ $B$ $ non può entrare dentro il cerchio delimitato da $ $C$ $, al massimo può tangere la circonferenza in uno o più punti.
Spero di esserti stato d'aiuto !

[Davide90]

Secondo voi va bene la mia soluzione?

[Alex90]

Personalmente parlando l'ho capita e secondo me fila...ma cerca qualcuno di più attendibile

[karl]

Una dimostrazione geometrica si può ottenere come segue ( vedi figura).
Siano M il punto medio dell'arco CD,LT la tangente a tale arco in M,A' il simmetrico di A rispetto ad LT.
E' facile constatare che i punti A',M e B sono allineati.Siano inoltre P un punto ( distinto da M) della circonferenza minore
e P' l'intersezione di AP con LT.Dalla figura si trae che:
$ \displaystyle AP+PB=AP'+(P'P+PB) > $$ AP'+P'B=A'P'+P'B > A'B=A'M+MB=AM+MB $
e ciò prova che il minimo di AP+PB si ottiene quando P coincide con M.
Il procedimento è analogo a quello che si adopera in Ottica per dimostrare la legge del minimo cammino
( o della minima azione) che la "luce" segue nel riflettersi su di uno specchio ( piano ).
karl

[Supercotone]

Davide90 penso di aver capito quanto hai scritto, ma come mai non consideri anche il caso in cui la retta congiungente A e B sia una tangente alla circonferenza interna in modo che il percorso minimo sia proprio il segmento di tangente?

[Supercotone]

Perché davide90 non hai considerato il caso in cui la retta congiungente A e B coincide con una tangente alla circonferenza interna? Per il resto mi pare di aver capito e sembra giusto!