SNS 2008/2009 n°1
SNS 2008/2009 n°1
Siano $ \displaystyle p_1, p_2, p_3 $ interi relativi e $ \displaystyle q_1, q_2, q_3 $ interi positivi tali che
$ \displaystyle |p_1q_2-q_1p_2|=|p_1q_3-p_3q_1|=|p_2q_3-p_3q_2|=1 $
Dimostrare che, dopo un eventuale riordinamento delle coppie $ \displaystyle (p_1,q_1) , (p_2,q_2) , (p_3,q_3) $ si ha che $ \displaystyle p_3=p_1+p_2 $ e $ \displaystyle q_3=q_1+q_2 $.
Good work!
$ \displaystyle |p_1q_2-q_1p_2|=|p_1q_3-p_3q_1|=|p_2q_3-p_3q_2|=1 $
Dimostrare che, dopo un eventuale riordinamento delle coppie $ \displaystyle (p_1,q_1) , (p_2,q_2) , (p_3,q_3) $ si ha che $ \displaystyle p_3=p_1+p_2 $ e $ \displaystyle q_3=q_1+q_2 $.
Good work!
La mia soluzione a dire il vero mi sembra un po' sporca... La scrivo ed eventualmente mi dite che ne pensate.
Poichè quei tre mostri in valore assoluto sono uguali ad 1, ce ne devono essere almeno due uguali tra loro. Per le simmetrie del problema (possiamo riordinare quanto ci pare) e per semplicità supponiamo che siano i primi due. Allora si ha:
$ \displaystyle p_1q_2 - q_1p_2 = p_1 q_3 - p_3 q_1 $
Da cui
$ \displaystyle \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2 - p_3}{q_2 - q_3} $
Si vede facilmente che la frazione al LHS è ridotta ai minimi termini, quindi $ \displaystyle (p_2 - p_3) = h p_1 $ e $ \displaystyle (q_2 - q_3) = h q_1 $. Adesso sostituiamo questo in $ \displaystyle p_2 q_3 -p_3 q_2 = ± 1 $ e scopriamo che $ \displaystyle h = ± 1 $, che ci dà la tesi.
Poichè quei tre mostri in valore assoluto sono uguali ad 1, ce ne devono essere almeno due uguali tra loro. Per le simmetrie del problema (possiamo riordinare quanto ci pare) e per semplicità supponiamo che siano i primi due. Allora si ha:
$ \displaystyle p_1q_2 - q_1p_2 = p_1 q_3 - p_3 q_1 $
Da cui
$ \displaystyle \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2 - p_3}{q_2 - q_3} $
Si vede facilmente che la frazione al LHS è ridotta ai minimi termini, quindi $ \displaystyle (p_2 - p_3) = h p_1 $ e $ \displaystyle (q_2 - q_3) = h q_1 $. Adesso sostituiamo questo in $ \displaystyle p_2 q_3 -p_3 q_2 = ± 1 $ e scopriamo che $ \displaystyle h = ± 1 $, che ci dà la tesi.
Il passaggio chiave stava in questo .Pigkappa ha scritto:Per le simmetrie del problema (possiamo riordinare quanto ci pare) e per semplicità supponiamo che siano i primi due.
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
io ho fatto con Cramer (faceva tanto figo )...
Si nota che quei tre aggeggi posssono essere scritti come matrici (Dx, Dy, D)caratterizzanti di un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite (basta sottrarre le equazioni per ottenere le relazioni cercate).
Per tale sistema si ha x=+o-1 y=+o-1: per i tre diversi casi si ottengono 3 riordinamenti diversi di p1=p2+p3.
Senza Latex mi sa che nn si capisce niente ... l'idea era buona ?
Si nota che quei tre aggeggi posssono essere scritti come matrici (Dx, Dy, D)caratterizzanti di un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite (basta sottrarre le equazioni per ottenere le relazioni cercate).
Per tale sistema si ha x=+o-1 y=+o-1: per i tre diversi casi si ottengono 3 riordinamenti diversi di p1=p2+p3.
Senza Latex mi sa che nn si capisce niente ... l'idea era buona ?
Ich bin der geist, der stets ferneint!
Sai che anch'io avevo pensato ad una cosa del genere? Poi ho lasciato perdere visto che dimestichezza con vettori e algebra lineare ne avevo (e ne ho tuttora) molto poca .
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Potresti spiegarmi i passaggi che hai fatto qui? Come hai ricavato che $ \displaystyle h = ± 1 $?Pigkappa ha scritto:$ \displaystyle (p_2 - p_3) = h p_1 $ e $ \displaystyle (q_2 - q_3) = h q_1 $. Adesso sostituiamo questo in $ \displaystyle p_2 q_3 -p_3 q_2 = ± 1 $ e scopriamo che $ \displaystyle h = ± 1 $, che ci dà la tesi.
- exodd
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- Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
- Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa
$ p_2q_3-p_3q_2=(p_3+hp_1)q_3-p_3(hq_1+q_3)=h(p_1q_3-p_3q_1) $
p.s. come si scrive più o meno?
p.s. come si scrive più o meno?
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
exodd ha scritto:p.s. come si scrive più o meno?
Codice: Seleziona tutto
\pm
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...