(a) Determinare per quali interi positivi $ \displaystyle n $ si ha che $ \displaystyle n^{2003}+2003^{n} $ è divisibile per 3.
(b) Determinare quindi per quali interi positivi $ \displaystyle n $ la stessa espressione è divisibile per 9.
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divisibili per 3 e per 9
divisibili per 3 e per 9
Appassionatamente BTA 197!
punto a:
$ $2003\equiv2(mod3) $ , dunque se $ $n $ pari avremo che $ $2003^n\equiv1(mod3) $ , mentre se $ $n $ dispari avremo che $ $2003^n\equiv2(mod3) $. Distinguiamo i 2 casi:
Nel primo caso dobbiamo avere $ $n^{2003}\equiv2(mod3) $ , e questo è vero per $ $n\equiv2(mod3) $ (non so se c'è bisogno di dimostrarlo, ditemi voi). Poichè $ $n $ è pari e congruo a 2 modulo 3 allora $ $n\equiv2(mod6) $ , quindi abbiamo come soluzioni tutti gli $ $n $positivi appartenenti alla classe resto $ $[2]_6 $
Nel secondo caso dobbiamo avere $ $n^{2003}\equiv1(mod3) $ , e questo è vero per $ $n\equiv1(mod3) $. Anche qui gli $ $n $ vanno ad intervalli di 6. Il numero 1 soddisfa le condizioni richieste, dunque abbiamo come soluzioni tutti gli $ $n $positivi appartenenti alla classe resto $ $[1]_6 $
è giusto?
$ $2003\equiv2(mod3) $ , dunque se $ $n $ pari avremo che $ $2003^n\equiv1(mod3) $ , mentre se $ $n $ dispari avremo che $ $2003^n\equiv2(mod3) $. Distinguiamo i 2 casi:
Nel primo caso dobbiamo avere $ $n^{2003}\equiv2(mod3) $ , e questo è vero per $ $n\equiv2(mod3) $ (non so se c'è bisogno di dimostrarlo, ditemi voi). Poichè $ $n $ è pari e congruo a 2 modulo 3 allora $ $n\equiv2(mod6) $ , quindi abbiamo come soluzioni tutti gli $ $n $positivi appartenenti alla classe resto $ $[2]_6 $
Nel secondo caso dobbiamo avere $ $n^{2003}\equiv1(mod3) $ , e questo è vero per $ $n\equiv1(mod3) $. Anche qui gli $ $n $ vanno ad intervalli di 6. Il numero 1 soddisfa le condizioni richieste, dunque abbiamo come soluzioni tutti gli $ $n $positivi appartenenti alla classe resto $ $[1]_6 $
è giusto?
marco
Allora...n tale che $ n^{2003}+5^n\equiv0\mod9 $
Le classi di resto delle potenze di 5 modulo 9 sono 5, 7, 8, 4, 2, 1.
Se $ n\equiv0,3,6\mod9 $ allora $ \displaystyle n^{2003}+5^n\equiv5^n\not\equiv0\mod9 $
Se $ n\equiv1\mod9 $ allora $ 1+5^n\equiv0\mod9 $, e quindi $ n\equiv3\mod6 $. Questo è impossibile perché mettendo a sistema si ha che n è congruo a 0 e 1 modulo 3 contemporaneamente.
Se $ n\equiv2\mod9 $ allora $ 5+5^n\equiv0\mod9 $, e quindi $ n\equiv4\mod6 $. Questo è impossibile perché mettendo a sistema si ha che n è congruo a 1 e 2 modulo 3 contemporaneamente.
Se $ n\equiv4\mod9 $ allora $ 7+5^n\equiv0\mod9 $, e quindi $ n\equiv5\mod6 $. Questo è imossibile perché mettendo a sistema si ha che n è congruo a 1 e 2 modulo 3 contemporaneamente.
Se $ n\equiv5\mod9 $ allora $ 2+5^n\equiv0\mod9 $, e quindi $ n\equiv2\mod6 $. Mettendo a sistema si ha
$ \left\{\begin{array}{ll}n\equiv5\mod9\\n\equiv0\mod2\end{array}\right. $
che come risultato ha $ n\equiv14\mod18 $.
Se $ n\equiv7\mod9 $ allora $ 4+5^n\equiv0\mod9 $, e quindi $ n\equiv1\mod6 $. Mettendo a sistema si ha
$ \left\{\begin{array}{ll}n\equiv7\mod9\\n\equiv1\mod2\end{array}\right. $
che come risultato ha $ n\equiv7\mod18 $.
Se $ n\equiv8\mod9 $ allora $ -1+5^n\equiv0\mod9 $, e quindi $ n\equiv0\mod6 $. Questo è impossibile perché mettendo a sistema si ha che n è congruo a 0 e 2 modulo 3 contemporaneamente.
Riassumendo: $ n\equiv7\mod18 $ e $ n\equiv14\mod18 $.
Credo che sia giusto
Le classi di resto delle potenze di 5 modulo 9 sono 5, 7, 8, 4, 2, 1.
Se $ n\equiv0,3,6\mod9 $ allora $ \displaystyle n^{2003}+5^n\equiv5^n\not\equiv0\mod9 $
Se $ n\equiv1\mod9 $ allora $ 1+5^n\equiv0\mod9 $, e quindi $ n\equiv3\mod6 $. Questo è impossibile perché mettendo a sistema si ha che n è congruo a 0 e 1 modulo 3 contemporaneamente.
Se $ n\equiv2\mod9 $ allora $ 5+5^n\equiv0\mod9 $, e quindi $ n\equiv4\mod6 $. Questo è impossibile perché mettendo a sistema si ha che n è congruo a 1 e 2 modulo 3 contemporaneamente.
Se $ n\equiv4\mod9 $ allora $ 7+5^n\equiv0\mod9 $, e quindi $ n\equiv5\mod6 $. Questo è imossibile perché mettendo a sistema si ha che n è congruo a 1 e 2 modulo 3 contemporaneamente.
Se $ n\equiv5\mod9 $ allora $ 2+5^n\equiv0\mod9 $, e quindi $ n\equiv2\mod6 $. Mettendo a sistema si ha
$ \left\{\begin{array}{ll}n\equiv5\mod9\\n\equiv0\mod2\end{array}\right. $
che come risultato ha $ n\equiv14\mod18 $.
Se $ n\equiv7\mod9 $ allora $ 4+5^n\equiv0\mod9 $, e quindi $ n\equiv1\mod6 $. Mettendo a sistema si ha
$ \left\{\begin{array}{ll}n\equiv7\mod9\\n\equiv1\mod2\end{array}\right. $
che come risultato ha $ n\equiv7\mod18 $.
Se $ n\equiv8\mod9 $ allora $ -1+5^n\equiv0\mod9 $, e quindi $ n\equiv0\mod6 $. Questo è impossibile perché mettendo a sistema si ha che n è congruo a 0 e 2 modulo 3 contemporaneamente.
Riassumendo: $ n\equiv7\mod18 $ e $ n\equiv14\mod18 $.
Credo che sia giusto