OliForum Matematico

credo che in realtà vogliate anche dimostrare che il gruppo di galois del polinomio è $ S_3 $, altrimenti potreste saperlo risolvere (vedi $ x^3-2 $).

e comunque il fatto è che l'insieme di quei polinomi e' aperto, e siccome non sai risolvere il "generico" polinomio di terzo grado senza usare (o ricavare) cardano, sei perduto.

No, la domanda era: non c'è un metodo per risolvere il problema senza usare i polinomi di 3° grado? Per rispondere no basta mostrare un polinomio di III grado irriducibile. E non importa che abbia o meno radici reali. Basta che queste non siano razionali.

Poi, capisco il senso della tua obiezione e sono, in linea di massima d'accordo, ma visto che il polinomio che salta fuori in dipendenza dai parametri della parabola è abbastanza generico, non dovrebbe essere difficile sistemare la cosa.
Comunque è una complicazione (e una finezza) che non credo sia utile a chiarire i dubbi di chi ha posto la domanda .