33 disuguaglianze e uguglianze trigonometriche note (e non)

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

le notazioni sono: $ \overline{AB}=c $, $ \overline{BC}=a $, $ \overline{CA}=b $, $ \angle BAC = A $, $ \angle ABC = B $, $ \angle BCA = C $, A l'area, p il semiperimetri, R il circoraggio e r l'inraggio.

$ 1 \blacktriangleright \displaystyle \tan{\frac{A}{2}} \tan{\frac{B}{2}} + \tan{\frac{B}{2}} \tan{\frac{C}{2}} + \tan{\frac{C}{2}} \tan{\frac{A}{2}} =1 $

$ 2 \blacktriangleright \displaystyle \tan{\frac{A}{2}} \tan{\frac{B}{2}} \tan{\frac{C}{2}} \le \frac{\sqrt{3}}{9} $

$ 3 \blacktriangleright \displaystyle \tan{A} + \tan{B} + \tan{C} = \tan{A} \tan{B} \tan{C} $ con ABC non rettangolo

$ 4 \blacktriangleright \displaystyle \tan{A} \tan{B} \tan{C} \ge 3\sqrt{3} $ con ABC acutangolo

$ 5 \blacktriangleright \displaystyle \sin^2{\frac{A}{2}} + \sin^2{\frac{B}{2}} + \sin^2{\frac{C}{2}} + 2\sin{\frac{A}{2}} \sin{\frac{B}{2}} \sin{\frac{C}{2}} = 1 $

$ 6 \blacktriangleright \displaystyle \sin{\frac{A}{2}} \sin{\frac{B}{2}} \sin{\frac{C}{2}} \le \frac{1}{8} $

$ 7 \blacktriangleright \displaystyle \cos^2{\frac{A}{2}} + \cos^2{\frac{B}{2}} + \cos^2{\frac{C}{2}} \le \frac{9}{4} $

$ 8 \blacktriangleright \displaystyle \cos{\frac{A}{2}} \cos{\frac{B}{2}} \cos{\frac{C}{2}} \le \frac{3\sqrt{3}}{8} $

$ 9 \blacktriangleright \displaystyle \csc{\frac{A}{2}} + \csc{\frac{B}{2}} + \csc{\frac{C}{2}} \ge 6 $

$ 10 \blacktriangleright \displaystyle \sin{2A} + \sin{2B} + \sin{2C} = 4 \sin{A} \sin{B} \sin{C} $

$ 11 \blacktriangleright \displaystyle \sin^2{A} + \sin^2{B} + \sin^2{C} = 2 + 2 \cos{A} \cos{B} \cos{C} $

$ 12 \blacktriangleright \displaystyle \cos^2{A} + \cos^2{B} + \cos^2{C} + 2 \cos{A} \cos{B} \cos{C} = 1 $

$ 13 \blacktriangleright \displaystyle \frac{\sin{A} + \sin{B} + \sin{C}}{\sin{A} \sin{B} \sin{C}} = \frac{2R}{r} $

$ 14 \blacktriangleright \displaystyle \sin{\frac{A}{2}} \sin{\frac{B}{2}} \sin{\frac{C}{2}} = \frac{r}{4R} $

$ 15 \blacktriangleright \displaystyle a\cos{A} + b\cos{B} + c\cos{C} = \frac{abc}{2R^2} $

$ 16 \blacktriangleright \displaystyle \cos{\frac{A}{2}} \cos{\frac{B}{2}} \cos{\frac{C}{2}} = \frac{p}{4R} $

$ 17 \blacktriangleright \displaystyle p \le \frac{3\sqrt{3}}{2} R $

$ 18 \blacktriangleright \displaystyle \cos{A} + \cos{B} + \cos{C} = 1 + 4 \sin{\frac{A}{2}} \sin{\frac{B}{2}} \sin{\frac{C}{2}} $

$ 19 \blacktriangleright \displaystyle \cos{A} + \cos{B} + \cos{C} \le \frac{3}{2} $

$ 20 \blacktriangleright \displaystyle \cos{A} \cos{B} \cos{C} \le \frac{1}{8} $

$ 21 \blacktriangleright \displaystyle \sin{A} \sin{B} \sin{C} \le \frac{3\sqrt{3}}{8} $

$ 22 \blacktriangleright \displaystyle \sin{A} + \sin{B} + \sin{C} \le \frac{3\sqrt{3}}{2} $

$ 23 \blacktriangleright \displaystyle \cos^2{A} + \cos^2{B} + \cos^2{C} \ge \frac{3}{4} $

$ 24 \blacktriangleright \displaystyle \sin^2{A} + \sin^2{B} + \sin^2{C} \le \frac{9}{4} $

$ 25 \blacktriangleright \displaystyle \cos{2A} + \cos{2B} + \cos{2C} \ge - \frac{3}{2} $

$ 26 \blacktriangleright \displaystyle \sin{2A} + \sin{2B} + \sin{2C} \le \frac{3\sqrt{3}}{2} $

$ 27 \blacktriangleright \displaystyle \frac{a-b}{a+b} = \tan{\frac{A-B}{2}} \tan{\frac{C}{2}} $

$ 28 \blacktriangleright \displaystyle a^x\cos{A} + b^x\cos{B} + c^x\cos{C} \le \frac{1}{2} \left ( a^x + b^x + c^x \right ) $ con x reale e non negativo

$ 29 \blacktriangleright \displaystyle \sin{\frac{3A}{2}} + \sin{\frac{3B}{2}} + \sin{\frac{3C}{2}} \le $$ \displaystyle \cos{\frac{A-B}{2}} + \cos{\frac{B-C}{2}} + \cos{\frac{C-A}{2}} $

Le seguenti valgono per ABC acutangolo:

$ 30 \blacktriangleright \displaystyle \sqrt{a^2b^2 - 4A^2} + \sqrt{b^2c^2 - 4A^2} + \sqrt{c^2a^2 - 4A^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} $

$ 31 \blacktriangleright \displaystyle \cot^3{A} + \cot^3{B} + \cot^3{C} + 6\cot{A}\cot{B}\cot{C} \ge $$ \displaystyle \cot{A} + \cot{B} + \cot{C} $

$ 32 \blacktriangleright \displaystyle (\sin{2B} + \sin{2C})^2 \sin{A} + (\sin{2C} + \sin{2A})^2 \sin{B} + $$ \displaystyle (\sin{2A} + \sin{2B})^2 \sin{C} \le 12 \sin{A} \sin{B} \sin{C} $

$ 33 \blacktriangleright \displaystyle \left ( \frac{\cos{A}}{\cos{B}} \right )^2 + \left ( \frac{\cos{B}}{\cos{C}} \right )^2 + \left ( \frac{\cos{C}}{\cos{A}} \right )^2 + 8 \cos{A}\cos{B}\cos{C} \ge 4 $


non c'è un ordine particolare, alcune implicano altre abbastanza facilmente, comunque consiglio di non partire dalla fine

[Agostino]

$ \displaystyle|sinA+cosA|\le \sqrt2 $

[pic88]

3) $ \displaystyle x+y -\frac{x+y}{1-xy}=-xy\frac{x+y}{1-xy} $
ove x e y sono tan A e tan B;
3->4) Applicare jensen: essendo la tangente convessa su [0, pi/2], la media delle tangenti è maggiore o uguale alla tangente della media, che fortunatamente è $ {\sqrt{3}} $. Questo però vale solo per gli acutangoli: del resto un triangolo ottusangolo ha un angolo a tangente negativa, il che complica le cose..

[pic88]

6)
log sin è concava in [0,pi/2] (evviva l'Analisi), ma allora ancora jensen: log LHS non è maggiore di 3log sin (pi/6)= log 1/8.

[karl]

N° 30
Si ha:
$ A=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}bc\sin\alpha=\frac{1}{2}ca\sin\beta $
Pertanto il primo membro della relazione diventa:
$ LHS=\sqrt{a^2b^2-a^2b^2\sin^2\gamma}+ $$ \sqrt{b^2c^2-b^2c^2\sin^2\alpha}+\sqrt{c^2a^2-c^2a^2\sin^2\beta} $
Oppure:
$ LHS=ab\cos\gamma+bc\cos\alpha+ca\cos\beta $
E per Carnot:
$ LHS=\displaystyle ab(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})+bc(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})+ca(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac})= $$ \displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{2} $
karl

[karl]

Del N° 24 ho una dimostrazione con i vettori che mi sembra carina.
Osserviamo che è $ \sin \alpha =\frac{a}{2R} $ etc. , per cui la relazione si
può anche scrivere così :
$ a^2+b^2+c^2 \le 9R^2 $
Sia allora O il circocentro del triangolo ABC ,avremo:
$ (\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})^2 \ge 0 $
e sviluppando:
$ 3R^2+2\vec{OA}\cdot \vec{OB} +2\vec{OA}\cdot \vec{OC}+2\vec{OB}\cdot \vec{OC} \ge 0 $
Ma : $ 2\vec{OA}\cdot \vec{OB}=\bar{OA}^2+\bar{OB}^2-\bar{AB}^2=2R^2-c^2 $ ed analogamente per gli altri prodotti scalari.
Potremo quindi scrivere che:
$ 3R^2+2R^2-c^2+2R^2-b^2+2R^2-a^2 \ge 0 $ da cui appunto
$ a^2+b^2+c^2 \le 9R^2 $
Dalla N° 24 scaturiscono poi facilmente anche la N° 23 e la N° 25
karl

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

ceto certo

$ a^2+b^2+c^2 \le 9R^2 $

altrimenti arrivati qui si conclude con $ OH^2 = 9R^2 - (a^2+b^2+c^2) $, si in effetti è molto forzato

[karl]

Mi è riuscita la N° 15
Sia O il circocentro di ABC ed H la sua proiezione ortogonale su BC.Dalla figura si ricava che:
$ \displaystyle A(BOC)=\frac{1}{2}OB \cdot BC\sin(90°-\alpha)=\frac{1}{2}aR\cos\alpha $
Analogamente per i triangoli AOC e AOB e quindi l'area del triangolo ABC sarà:
$ \displaystyle\frac{1}{2}aR\cos\alpha+\frac{1}{2}bR\cos\beta+\frac{1}{2}cR\cos\gamma=A=\frac{abc}{4R} $
Moltiplicando il tutto per $ \displaystyle \frac{2}{R} $ si ottiene appunto:
$ \displaystyle a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma=\frac{abc}{2R^2} $
karl

[karl]

Visto che non ci sono state più risposte ne discuto un'altra e precisamente la N° 28
che si presta ad una simpatica applicazione della disuguaglianza di Chebyschev
sulla somma e che per comodità ricordo:
Se è :
$ \displaystyle a\ge b\ge c>0 $
$ \displaystyle a_1\ge b_1\ge c_1>0 $
è pure:
$ \displaystyle (aa_1+bb_1+cc_1)\ge \frac{1}{3}(a+b+c)(a_1+b_1+c_1) $
Tale relazione è poi generalizzabile al caso di n (>3) termini e a casi diversi dalla
crescenza.
E veniamo alla 28.
Intanto dalla N° 7 ricavo che :
(0) $ \displaystyle \sin^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\beta}{2}+\sin^2\frac{\gamma}{2}\ge\frac{3}{4} $
Ora l'LHS della 28 si può scrivere così:
$ \displaystyle LHS=a^x(1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}) +b^x(1-2\sin^2\frac{\beta}{2})+c^x(1-2\sin^2\frac{\gamma}{2}) $
Oppure:
(1) $ \displaystyle LHS=(a^x+b^x+c^x)-2(a^x\sin^2\frac{\alpha}{2}+b^x\sin^2\frac{\beta}{2}+c^x\sin^2\frac{\gamma}{2}) $
Supponiamo ora che risulti:
$ \displaystyle a\ge b\ge c>0 $
sarà pure:
$ \displaystyle a^x\ge b^x\ge c^x >0 $
$ \displaystyle \sin^2\frac{\alpha}{2}\ge \sin^2\frac{\beta}{2}\ge \sin^2\frac{\gamma}{2}>0 $
Pertanto per Chebyshev avremo:
$ \displaystyle(a^x\sin^2\frac{\alpha}{2}+b^x\sin^2\frac{\beta}{2}+c^x\sin^2\frac{\gamma}{2}) $$ \displaystyle\ge \frac{1}{3}(a^x+b^x+c^x)(\sin^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\beta}{2}+\sin^2\frac{\gamma}{2}) $
e per la (0) :
$ \displaystyle(a^x\sin^2\frac{\alpha}{2}+b^x\sin^2\frac{\beta}{2}+c^x\sin^2\frac{\gamma}{2}) $$ \displaystyle\ge \frac{1}{4}(a^x+b^x+c^x) $
E dunque la (1) diventa:
$ LHS \le (a^x+b^x+c^x)-2\cdot \frac{1}{4}(a^x+b^x+c^x)=\frac{1}{2}(a^x+b^x+c^x) $
che era quello da dimostrare.
karl