Finisce tutto in una bolla di sapone
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Finisce tutto in una bolla di sapone
Dimostrare che la differenza di pressione tra l'interno e l'esterno di una bolla di raggio $ r $ è $ \displaystyle \frac{4 \gamma}{r} $, dove $ \displaystyle \gamma $ è la tensione superficiale del liquido di cui è composta la bolla.
Buon divertimento con le bolle di sapone!
Buon divertimento con le bolle di sapone!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
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Innanzitutto, grazie che ho imparato che cos'è la tensione superficiale .
Avverto che però il risultato non è esattamente lo stesso.
Quindi $ \displaystyle \gamma =\frac{L}{A} $ dove $ A $ è la superficie interessata dallo spostamento $ ds $.
Sia $ p_i $ la pressione interna alla bolla.
La pressione interna tende a far dilatar la bolla, aumentandone il raggio.
Il lavoro corrispondente è $ L_i=\displaystyle \int F \ dr=\int p_iA \ dr $ dove $ A $ è la superficie interessata.
$ L_i=p_i4\pi r^3\rightarrow p_i=\displaystyle \frac{L_i}{4\pi r^2}\cdot \frac{1}{r}=\frac{\gamma}{r} $.
Analogamente $ \displaystyle L_e=p_e4\pi r^3 \rightarrow p_e=-\displaystyle \frac{\gamma}{r} $ (le forze agiscono sulla bolla in direzioni opposte).
Da qui ricavo $ \Delta p=\displaystyle \frac{2\gamma}{r} $.
Dove sbaglio?
Uff, non sarò mai un buon fisico, non sono neanche riuscita a far tornare il risultato..
Comunque, bel problema!
Avverto che però il risultato non è esattamente lo stesso.
Quindi $ \displaystyle \gamma =\frac{L}{A} $ dove $ A $ è la superficie interessata dallo spostamento $ ds $.
Sia $ p_i $ la pressione interna alla bolla.
La pressione interna tende a far dilatar la bolla, aumentandone il raggio.
Il lavoro corrispondente è $ L_i=\displaystyle \int F \ dr=\int p_iA \ dr $ dove $ A $ è la superficie interessata.
$ L_i=p_i4\pi r^3\rightarrow p_i=\displaystyle \frac{L_i}{4\pi r^2}\cdot \frac{1}{r}=\frac{\gamma}{r} $.
Analogamente $ \displaystyle L_e=p_e4\pi r^3 \rightarrow p_e=-\displaystyle \frac{\gamma}{r} $ (le forze agiscono sulla bolla in direzioni opposte).
Da qui ricavo $ \Delta p=\displaystyle \frac{2\gamma}{r} $.
Dove sbaglio?
Uff, non sarò mai un buon fisico, non sono neanche riuscita a far tornare il risultato..
Comunque, bel problema!
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Mi scuso per non aver risposto prima, ma sono riuscito a prendermi un'influenza con i fiocchi al 25 di luglio
Comunque, le formule di wikipedia sono per le superfici, mentre l'Halliday - poco prima di proporre quel problema - dice chiaramente che una bolla, per quanto sottile, non ha una superficie sola ma due, e quindi il risultato va raddoppiato
In secondo luogo mi sfugge un passaggio nella dimostrazione di Eucla: quando integri $ \displaystyle \int p_iA dr = \int 4 \pi r^2 p_i dr $ stai considerando $ p_i $ come una costante? Perchè in questo caso il risultato dovrebbe essere - sempre che io non sia annebbiato dai bacilli dell'influenza - $ \displaystyle \frac{4\pi r^3}{3} p_i $, o no?
Comunque grazie della risposta (io onestamente il problema non ho mica ancora capito come si faccia!), ciau!!
Comunque, le formule di wikipedia sono per le superfici, mentre l'Halliday - poco prima di proporre quel problema - dice chiaramente che una bolla, per quanto sottile, non ha una superficie sola ma due, e quindi il risultato va raddoppiato
In secondo luogo mi sfugge un passaggio nella dimostrazione di Eucla: quando integri $ \displaystyle \int p_iA dr = \int 4 \pi r^2 p_i dr $ stai considerando $ p_i $ come una costante? Perchè in questo caso il risultato dovrebbe essere - sempre che io non sia annebbiato dai bacilli dell'influenza - $ \displaystyle \frac{4\pi r^3}{3} p_i $, o no?
Comunque grazie della risposta (io onestamente il problema non ho mica ancora capito come si faccia!), ciau!!
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Sisì, torna!
$ L=\displaystyle \int F \ dr=\int p_iA \ dr $.
Allo stesso tempo la def di tensione superficiale ci dice che $ L=\displaystyle \int \gamma dA $
Dall'uguaglianza di $ L $ ricavo: $ \displaystyle p_i\frac{dV}{dr}=\gamma \frac{dA}{dr} $ da cui $ p_i=\displaystyle \gamma \frac{8\pi r}{4\pi r}=\frac{2\gamma}{r} $.
In modulo, ricavo analogamente $ p_e=\displaystyle \frac{2\gamma}{r} $.
Da cui $ \Delta p=\displaystyle \frac{4\gamma}{r} $ perchè le forze che agiscono a causa della pressione hanno verso opposto.
p.s. secondo me l'influenza è un residuo della baldoria ispanica
Ciao!
$ L=\displaystyle \int F \ dr=\int p_iA \ dr $.
Allo stesso tempo la def di tensione superficiale ci dice che $ L=\displaystyle \int \gamma dA $
Dall'uguaglianza di $ L $ ricavo: $ \displaystyle p_i\frac{dV}{dr}=\gamma \frac{dA}{dr} $ da cui $ p_i=\displaystyle \gamma \frac{8\pi r}{4\pi r}=\frac{2\gamma}{r} $.
In modulo, ricavo analogamente $ p_e=\displaystyle \frac{2\gamma}{r} $.
Da cui $ \Delta p=\displaystyle \frac{4\gamma}{r} $ perchè le forze che agiscono a causa della pressione hanno verso opposto.
p.s. secondo me l'influenza è un residuo della baldoria ispanica
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C'è anche il "metodo della fettina", utile in svariate occasioni: ricordando la definizione operativa di tensione superficiale $ dF=\gamma dl $, si prende una fettina della sfera (cioè una calotta) tale che la circonferenza intercettata sia di raggio $ R*sen\theta $; si calcola la forza risultante nella direzione radiale e si divide per l'area della calotta (tutto nel limite di $ \theta $ piccolo), viene $ 2\gamma / r $ da raddoppiare per il discorso della doppia superficie.
ciao
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All of physics is either impossible or trivial.
It is impossible until you understand it, and then it becomes trivial.
Live as if you were to die tomorrow.
Learn as if you were to live forever.
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