equazione della sns

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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matteo16
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equazione della sns

Messaggio da matteo16 » 26 lug 2008, 21:31

sia p primo e sia data la seguente equazione:

$ x^p+y^p=p^z $

trovare tutte le soluzioni intere $ x,y,z,p $

io l'ho risolto. posto la mia soluzione. dopo mi dite se è sbagliata. quelli che vogliono risolverla non guardino la mia risoluzione(anche se magari la mia è sbagliata :lol: ).



ragiono modulo $ p $

poichè, ovviamente $ p \equiv 0 $ $ (mod p) $
si ha che

$ x^0+y^0=1+1=2 \equiv 0 $ $ (mod p) $

siccome p deve essere primo $ p=2 $.

l'equazione, allora, diventa:

$ x^2+y^2=2^z $

ragiono $ mod 3 $

so che $ x^n \equiv 1 $ $ (mod 3) $ se e solo se n è pari
in questo caso $ n=2 $ quindi

$ x^2 \equiv y^2 \equiv 1 $ $ (mod 3) $

quindi si ha che

$ 2 \equiv 2^z $

considero quindi le potenze di $ 2 $ modulo $ 3 $
per il piccolo teorema di Fermat so che si ripetono alla seconda potenza
quindi ho che tutte le potenze dispari di $ 2 $ sono congrue a $ 2 $ modulo $ 3 $
da cui ricavo che z è un qualunque numero dispari, quindi della forma $ 2n+1 $ con $ n $ naturale.

$ x $ e $ y $ possono essere entrambi pari o entrambi dispari.
si vede che una soluzione banale è $ x=y=1 $ e $ z=1 $

quindi si ha che $ 1^2+1^2=2^1 $
per formare tutte le potenze dispari di $ 2 $ basta che moltiplichi da entrambi i membri una potenza pari di $ 2 $.
quindi $ x $ e $ y $ sono uguali.
le potenze pari di due sono multipli di quattro. quindi x e y devono essere multipli di $ 4 $
$ x=y=4k $ con $ k $ intero

quindi come soluzioni $ (x,y,z,p) ho (1,1,1,2) U (-1,-1,1,2) U (4k,4k,2n+1,2) U (-4k,-4k,2n+1,2) $.

per un'ulteriore verifica del fatto che x e y siano pari posso dire che, poichè per z>1 2^z \equiv 0 (mod 4)

$ x^2+y^2(x^2)=2x^2 \equiv 0 (mod 4) $
quindi x deve essere pari(quindi anche y) e in più c'è anche quel $ 2 $
quindi x e y devono essere multipli di $ 4 $.

ditemi se è giusta. :D

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salva90
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Re: equazione della sns

Messaggio da salva90 » 26 lug 2008, 21:41

matteo16 ha scritto: ragiono modulo $ p $

poichè, ovviamente $ p \equiv 0 $ $ (mod p) $
si ha che

$ x^0+y^0=1+1=2 \equiv 0 $ $ (mod p) $
AAAAAAAAAAAALT

$ ~x^p\equiv x\pmod p $, non a 1!!!
all'esponente non puoi sfruttare la congruenza modulo p
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Goldrake
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Messaggio da Goldrake » 26 lug 2008, 21:43

Calma.
Il primo passaggio non è lecito, non puoi dire quello che hai detto.
Al massimo puoi applicare il piccolo teorema di Fermat.

edit: infatti... :wink:

matteo16
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Messaggio da matteo16 » 26 lug 2008, 22:14

non ci avevo pensato
cavolo!!! non ho proprio tenuto in considerazione questa cosa.
e pensare che ero convinto
ci ho passato un pomeriggio intero mannaggia.
comunque, se il resto va bene, quelle dovrebbero essere le soluzioni per p=2
poi cercherò di trovarle per p>2.
tralasciando la prima parte(molto importante, lo so), il resto andrebbe bene?

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Re: equazione della sns

Messaggio da SkZ » 27 lug 2008, 03:19

matteo16 ha scritto:so che $ $x^n \equiv 1 \mod 3$ $ se e solo se n è pari
in questo caso $ ~n=2 $ quindi

$ $x^2 \equiv y^2 \equiv 1 \mod 3$ $

quindi si ha che

$ 2 \equiv 2^z $
se e solo se n è pari e $ $(x,3)=1$ $
vedi $ $(0,2,2,2)$ $ o sorella e figlie
$ $(x,y,z,p)$ $ interi o naturali?
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