La vendetta delle piramidi: prisma a base ottagonale

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EUCLA
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La vendetta delle piramidi: prisma a base ottagonale

Messaggio da EUCLA » 04 ago 2008, 14:03

Sia $ S $ la superficie di un prisma a base ottagonale regolare, inscritto in un cilindro circolare retto di raggio $ R $ e altezza $ h=\displaystyle 3R\sin{\frac{\pi}{8}} $.

Siano $ A $ e $ B $ due punti di $ S $ come in figura, con $ OA=\displaystyle \frac{R}{\sqrt{2}} $.

Determinare la lunghezza del minimo percorso su $ S $ tra $ A $ e $ B $.

SNS 1989-1990

Molto simile a quello delle piramidi, quello però mi è parso più facile..
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Gufus
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Messaggio da Gufus » 06 ago 2008, 12:39

A può muoversi sulla circonferenza di raggio AO, vero? se è cosi' penso di avere la soluzione però è un po' calcolosa... :? Prima di postare controllo...
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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 06 ago 2008, 13:59

Mi sa proprio di sì, il mio problema principale era infatti trovare una relazione tra gli angoli che si vengono a formare e la lunghezza del segmento che unisce A al lato dell'ottagono :(

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Gufus
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Messaggio da Gufus » 06 ago 2008, 14:53

Io ho fatto cosi', illustro il procedimento e qualche calcolo perchè ho applicato solo il teorema di Pitagora:
Facendo riferimento alla tua figura, chiamo D il vertice sullo stesso segmento di B perpendicolare alla base, ed E il precedente. Adesso immagina che DE sia un a cerniera (come quella nelle porte), puoi portare fare coincidere il piano che contiene A,O,D con quello che contiene D,B,E. Ora il segmento che unisce O con B giace su di un piano solo ed è certamente il più breve! Traccia poi l' altezza del triangolo OED dal vertice O e questa cade perpendicolare anche sul segmento BF, dove F è il vertice sullo stesso segmento di E perpendicolare alla base. Con Pitagora calcoli OB e poi sottrai OA per ottenere AB cercato(puoi farlo perchè è possibile orientare il segmento OA fino a sovrapporlo alla retta OB).
Ora a me il lato dell' ottagono inscritto (Che serve per avere $ $\frac{l}{2}$ $) risulta: $ $l=R\sqrt{2-\sqrt{2}}$ $ mentre l' altezza dei uno deigli otto triangoli dell' ottagono è:
$ $R\sqrt{2+\sqrt{2}}$ $
Devo sistemare i calcoli per arrivare alla soluzione...sopratutto rompe molto quell' altezza del prisma in funzione del raggio :roll: ...si vede che ci deve essere un altro modo di risolverlo in cui cui entra quella cosa li e alla fine si semplifica...come l' ho fatto io è proprio brutto! Devo pensarci un po' di più...Comunque è simpatico come problema :D ...mi ricorda vagamente uno di livello Febbraio che aveva a che fare con le lumache...se lo trovo lo metto perchè è molto carino anche quello...
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