SNS 2003-2004 es. 2

[gattovince]

Credo che questo problema non sia già stato postato.

E' un problema SNS che ho provato a fare ma non sono sicuro della soluzione.
Magari dite cosa ne pensate!

La luce è costituita da fotoni, ciascuno dei quali trasporta un' energia
$ E = h\nu $ ed un impulso $ p = h/\lambda $, dove $ \nu $ è la frequenza e $ \lambda $ la lunghezza
d’onda della luce in questione. Un granello di polvere stellare che assorbe
(senza riflettere) la luce del sole che lo investe, subisce per questo una
forza che lo respinge dal sole stesso. Determinare il rapporto dell’intensità di questa forza con quella della gravitazione solare per un granello
sferico di raggio $ r $ e densità $ \rho $. Assumendo $ \rho = 10^{-1} g/cm^3 $ calcolare
l’ordine di grandezza di $ r $ per cui queste forze si bilanciano.

PS: Sono date la costante di gravitazione universale $ G $, la luminosità\potenza del Sole $ P_s $, la massa del Sole $ M_s $ e la velocità della luce $ c $

PPS: penso che "impulso" significhi "quantità di moto"

$ G = 6.7 \cdot 10^{-11} m^3/(kg \cdot s^2) $
$ P_s = 4 \cdot 10^{26} W $
$ M_s = 2 \cdot 10^{30} kg $
$ c = 3 \cdot 10^8 m/s $

Grazie!!

[EUCLA]

La parte più semplice è calcolare $ F_{G} $ (attrazione grav. solare): $ F_G=\displaystyle G\cdot \frac{m_Sm_g}{d^2} $, dove compare $ d $ come unica incognita.
Ovviamente poi $ m_g=\displaystyle \frac{4\pi}{3}\rho r^3 $.

Sia $ F $ la forza che investe il granello. Sia $ I $ l'intensità della luce, a distanza $ d $ dal sole si ha $ I=\displaystyle \frac{P_S}{4\pi d^2} $ (Basta considerare una sfera di raggio $ d $ centrata nel sole per dimostrarlo).
La luce dovrebbe esercitare una pressione che è $ p=\displaystyle \frac{I}{c} $.
Sostituendo un pò di roba, se $ A $ è l'area della superficie irraggiata(?) del granello $ F=pA=\displaystyle \frac{IA}{c}=\frac{P_SA}{4\pi cd^2} $.
Ora, $ A $ è metà della superficie totale della sfera del granello, cioè $ \displaystyle A=2\pi r^2 \rightarrow F=\frac{P_Sr^2}{2cd^2} $.

Quello che cerchiamo è quando $ \displaystyle \frac{F}{F_G}=\frac{P_Sr^2}{2cd^2} \cdot \frac{3d^2}{4\pi \rho r^3Gm_S}=\frac{3P_S}{8c\pi \rho rGm_S}\approx 1 $.

Quindi, $ r $ dev'esser circa $ 1,19 \times 10^{-9} $ che forse però è un pò troppo piccolo.
Com'era la tua soluzione? Almeno si assomigliano un pò?
Sono molto in dubbio per il fatto che quando faccio questi problemi mi avanzano sempre dati, ad esempio che me ne faccio della roba con l'h?

[Fedecart]

Spero di non dire l'idiozia delle 18:36... comunque credo che bisogni immaginare una sorta di urto non elastico tra il fotone e il granello di polvere stellare in questione, e lavorare un po su questo. Specialmente dal momento che è stata data la quantità di moto del fotone e l'energia che trasporta, mentre la sua massa è nota. Sulla forza gravitazionale sono d'accordissimo con Eucla e su quello non ci piove.

La luce dovrebbe esercitare una pressione che è $ p=\frac{I}{c} $

Questo è il punto dove mi perdo, probabilmente per ignoranza mia, nella tua dimostrazione...

[EUCLA]

Ho capito perchè ci sono stati "dati" quei "dati", scusate la ripetizione

In pratica, se uno non conosceva quella formula, se la può ricavare. Dimostriamola!

Per esser chiara: $ P $ è la potenza, $ p $ è la quantità di moto.

$ E=h\nu, \ p=\displaystyle \frac{h}{\lambda}\Rightarrow \frac{E}{p}=\nu \lambda $. Ottengo $ \boxed{\displaystyle \frac{E}{p}=c} $.

Ora consideriamo che $ F=\displaystyle \frac{\Delta p}{\Delta t} $.
Se $ L $ è il lavoro compiuto sul nostro granello $ \displaystyle P=\frac{L}{\Delta t}=\frac{E}{\Delta t} $.
Ora, posso sfruttare il fatto che $ I $ è sempre la stessa se prendo in considerazione quando la luce arriva sul granello. Dunque vale $ \displaystyle P=IA $.

Sostituendo ottengo: $ \boxed{E=\displaystyle IA\Delta t} $.

Riprendo il risultato di prima e viene che $ pc=IA\Delta t \rightarrow F\Delta t c=IA\Delta t $. Da qui ottengo $ \boxed{F=\displaystyle \frac{IA}{c}} $ da cui si ottiene il risultato su cui avevi dei dubbi.

Ammetto che differenziando verrebbe meglio , forse più pulita nei punti in cui ci sono $ E $ e $ \Delta E $.
Se non torna qualcosa comunque, cosa molto probabile, dimmelo .

[Fedecart]

Hai un punto del laTex che non funziona... E poi come si fa a fare i riquadri attorno alle formule? Sono bellissime!!

[Desh]

Hai un punto del laTex che non funziona...

E poi come si fa a fare i riquadri attorno alle formule? Sono bellissime!!

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\boxed{a}

$ \boxed{a} $