SNS 2008/2009 problema 6

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Algebert
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SNS 2008/2009 problema 6

Messaggio da Algebert » 03 set 2008, 18:01

"Dato un cubo $ $Q$ $ di lato $ \displaystyle l $ considerare il poliedro convesso $ $P$ $ che si ottiene unendo i punti medi dei suoi spigoli. Decrivere l'ottaedro regolare $ $O$ $ tale che $ $P = Q \cap O$ $. Qualè il volume di $ $Q \cup O$ $?"


Io con "descrivere" ho pensato intendesse "fornire abbastanza informazioni per delinearlo", quindi mi sono limitato a dire qual'era la lunghezza dei suoi spigoli e a disegnarlo.
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Desh
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Messaggio da Desh » 03 set 2008, 22:23

Io ho indicato le posizioni dei suoi vertici rispetto al cubo (e la lunghezza degli spigoli, ma di per sé le posizioni dei vertici lo delineano univocamente).
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Alex90
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Messaggio da Alex90 » 03 set 2008, 22:41

Ci provo sperando di riuscire a tirare fuori qualcosa e soprattutto sperando in qualche utile correzione :P

Cominciamo col notare che il poliedro $ P $ è il cubo privato degli otto teraedri ai vertici, pertanto l'ottaedro regolare $ O $ avrà il centro coincidente con quelo del cubo e sarà orientato in modo tale da avere i 6 vertici allineati con i centri della facce del cubo.
Immaginiamo ora di sezionare il cubo con un piano parallelo da una faccia e passante per il centro del cubo (divideremo pertanto anche l'otteadro in due identiche piramidi a base quadrata), per comodità consideriamo che il piano sia parallelo alla "base" su cui poggia ipoteticamente il cubo e analizziamo la parte superiore così ottenuta:
sia $ V $ il vertice della piramide, siano $ A, B, C $ e $ D $ i punti medi della faccia superiore, siano $ A', B', C' $ e $ D' $ gli estremi del quadrato alla base della piramide e siano $ H $ e $ H' $ i piedi delle altezze condotte da $ V $ sulle rispettive facce
La piramide $ VABCD $ è simile a $ VA'B'C'D' $ e perciò i rispettivi lati di base e le rispettive altezze sono in proporzione:
$ $AB : A'B' = VH : VH' \Rightarrow \frac{l \sqrt2}{2} : l \sqrt2 = x : \frac{l}{2} + x $ $ dove $ $ x = VH' - VH$ $ da cui si ricava che $ $x = \frac{l}{2}$ $

Perciò l'ottaedro $ O $ ha lato $ l \sqrt2 $ e altezza tra vertici opposti pari a $ 2l $

Da ciò deriva che il volume di $ $Q \cup O$ $ è pari al volume del cubo più le sei piramidi poggiate sulle sue facce ad esso esterne:
$ $V = V_Q + 6V_P = l^3 + 6 \cdot \frac{A_b \cdot h}{3} = l^3 + 6 \cdot \frac{AB^2 \cdot x}{3}=$ $$ $ l^3 + 6 \cdot \frac{\frac{l^2}{2} \cdot \frac{l}{2}}{3}= l^3 + \frac{l^3}{2} = \frac{3}{2}l^3$ $

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Algebert
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Messaggio da Algebert » 04 set 2008, 08:19

E' corretto: o, almeno, io l'ho fatto proprio come te :wink: , a parte alla fine che invece di scrivere $ $\frac{3}{2}$ $ non so per quale oscuro motivo ho messo $ $\frac{5}{2}$ $ :shock: :x :evil: !
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