SNS 2008/2009 Problema 5

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Desh
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SNS 2008/2009 Problema 5

Messaggio da Desh » 06 set 2008, 11:47

Provo a riportare il testo (a memoria). Se ci sono errori correggetemi!

Sia $ \mathcal{P} $ un poliedro convesso.
  1. Sapendo che le facce di $ \mathcal{P} $ sono dispari e che hanno tutte lo stesso numero di lati, dimostrare che questo numero è 4;
  2. Sapendo che, prese due facce qualsiasi $ F_1, F_2 $, esiste una rotazione che porta $ F_1 $ su $ F_2 $ e lascia invariato il polidero, dimostrare che il numero di facce di $ \mathcal{P} $ è pari.
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Alex90
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Messaggio da Alex90 » 06 set 2008, 12:24

Già postato da pig in combinatoria :wink:

Comunque visto che l'ho rivisto qui provo a risolverlo, o meglio scrivo la mia dimostrazione (errata) sperando che qualcuno me la può correggere :D

Per la nota formula di Eulero:
$ $ F + V - S = 2$ $

Ci sono tanti spigoli quanti sono i lati di ogni faccia diviso 2:
$ $ S= \frac{F \cdot k}{2}$ $

Mentre ogni vertice è formato da almeno 3 spigoli, ma ogni spigolo va contato 2 volte perchè forma 2 vertici:
$ $ V \le \frac {2}{3}S \Rightarrow V \le \frac{F \cdot k}{3}$ $

Andiamo a sostituire:
$ $ F + \frac{F \cdot k}{3} - \frac{F \cdot k}{2} \ge 2 $ $
$ $ F \left (1 + \frac{k}{3} - \frac{k}{2} \right) \ge 2 $ $
$ $ F \left (6 - k) \ge 12 $ $ ma poi non dovrebbe diventare un'uguaglianza? ma in quel caso cado in un assurdo...aiutino? :D

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Desh
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Messaggio da Desh » 06 set 2008, 13:08

Alex90 ha scritto:Già postato da pig in combinatoria :wink:

:oops: :oops: :oops: scusate
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Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 06 set 2008, 13:23

Alex90 ha scritto:ma in quel caso cado in un assurdo...aiutino? :D
Hai trovato k < 6, da cui è ovvio che k = 4 (è pari e non è 2...). La parte difficile/interessante del problema è la seconda domanda...

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julio14
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Messaggio da julio14 » 06 set 2008, 13:26

Beh a questo punto della dimostrazione è fatta. Sai che F è dispari e S intero, quindi vista $ $S=\frac{F\cdot k}{2} $ k dev'essere pari. Poi prendi la tua ultima disuguaglianza: per $ $k\ge6 $ è assurda (LHS nullo o negativo), inoltre una faccia ha almeno 3 lati, quindi k è 3, 4 o 5, ma visto che abbiamo detto che k è pari k=4.
EDIT: preceduto da pig...

Alex90
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Messaggio da Alex90 » 06 set 2008, 14:44

Ero arrivato alla fine e non me ne ero accorto :lol: che genio...comunque grazie a tutti e 2 x l'aiuto :D

ps la seconda non so neanche dove mettere le mani :?

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 06 set 2008, 15:27

Se date due facce qualsiasi è possibile sovrapporle una sull'altra, allora le facce del poliedro sono tutte uguali, dunque è un solido platonico.
Ma i solidi platonici hanno tutti un numero pari di facce, dunque la tesi è dimostrata.
Dov'è l'errore? :roll:

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Messaggio da julio14 » 06 set 2008, 15:58

Davide90 ha scritto:le facce del poliedro sono tutte uguali, dunque è un solido platonico.
Dimostra questa cosa e funziona.... se ci riesci... :?

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Messaggio da Alex90 » 06 set 2008, 16:01

Il fatto che sono tutte uguali non implica che è un solido platonico...credo dovresti dimostrare che sono anche regolari e poi hai fatto...

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Messaggio da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ » 06 set 2008, 19:34

julio14 ha scritto:
Davide90 ha scritto:le facce del poliedro sono tutte uguali, dunque è un solido platonico.
Dimostra questa cosa e funziona.... se ci riesci... :?


perchè il pentacisdodecaedro regolare non ha solo faccie triangoli equilateri? :roll:

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Messaggio da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ » 06 set 2008, 19:35

Davide90 ha scritto:le facce del poliedro sono tutte uguali, dunque è un solido platonico.
perchè il pentacisdodecaedro regolare non ha solo faccie triangoli equilateri? :roll:
Ultima modifica di ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ il 06 set 2008, 19:41, modificato 1 volta in totale.

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Messaggio da julio14 » 06 set 2008, 19:38

ero ironico...

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Messaggio da fph » 06 set 2008, 23:20

Se qualcuno di voi ha presente com'è fatto un D10 (dado a 10 facce), questo è un buon esempio di poliedro che soddisfa le ipotesi di (2) ma non è un solido platonico.
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Messaggio da julio14 » 06 set 2008, 23:36

Per tutti (cioè quelli che come me non conoscono né pentacisdodecaedro né D10 :lol: ) basta prendere due piramidi rette regolari uguali e appiccicarle per le basi.

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 07 set 2008, 10:21

Davide90 ha scritto:le facce del poliedro sono tutte uguali, dunque è un solido platonico
Già, ho detto una cagata... :oops:
Ho provato a risolvere il punto b ma non ci sono riuscito...:roll: qualcuno ha qualche idea?

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