oliforum contest- round3- fake edition #1
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Data la sequenza definita da $ a_1=2, a_2=5, a_{n+1}=(2-n^2)a_n+(2+n^2)a_{n-1}, \forall n>1 $, trovare tutti gli $ (x,y,z) \in \mathbb{N}^3 $ tali che $ a_xa_y=a_z $
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Risveglio questo vecchio topic...
Dimostro per induzione che tutti gli $ \displaystyle~a_n $ sono congrui a -1 (mod 3):
per n = 2 ovvio (così come per n = 1); suppongo che sia n > 2 e che $ \displaystyle~a_k\equiv-1\pmod3,~~\forall k < n $
si ottiene $ \displaystyle~a_n=[2-(n-1)^2]a_{n-1}+[2+(n-1)^2]a_{n-2}\equiv $
$ \displaystyle~\equiv-[2-(n-1)^2]-[2+(n-1)^2]\equiv-2+(n-1)^2-2-(n-1)^2\equiv-4\equiv-1\pmod 3 $
Ma il prodotto di due numeri congrui a -1 deve essere necessariamente congruo a +1, dunque non esistono terne che soddisfano la richiesta.
Dimostro per induzione che tutti gli $ \displaystyle~a_n $ sono congrui a -1 (mod 3):
per n = 2 ovvio (così come per n = 1); suppongo che sia n > 2 e che $ \displaystyle~a_k\equiv-1\pmod3,~~\forall k < n $
si ottiene $ \displaystyle~a_n=[2-(n-1)^2]a_{n-1}+[2+(n-1)^2]a_{n-2}\equiv $
$ \displaystyle~\equiv-[2-(n-1)^2]-[2+(n-1)^2]\equiv-2+(n-1)^2-2-(n-1)^2\equiv-4\equiv-1\pmod 3 $
Ma il prodotto di due numeri congrui a -1 deve essere necessariamente congruo a +1, dunque non esistono terne che soddisfano la richiesta.
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)