Luogo dei punti per cui il triangolo ceviano è equilatero

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Sia ABC un triangolo e P un punto nel piano di ABC. Definiamo A', B', C' rispettivamente l'intersezione di AP, BP, CP con BC, CA, AB.
Determinare il luogo dei punti P per cui il triangolo A'B'C' è equilatero.

[Haile]

Visto che per ora non mi viene in mente nulla, posto un misero caso particolare: se il triangolo è equilatero, esiste un solo punto P tale che il triangolo ceviale sia equilatero.

Prima di tutto osserviamo che se $ $A', B', C'$ $ si trovano sui punti medi dei lati, allora il triangolo è equilatero. È L'unico caso? Se due dei punti sono punti medi, si vede facilmente che anche il terzo lo è. Poniamo quindi che due tra $ $A', B', C'$ $ non siano punti medi dei rispettivi lati, WLOG $ $A', C'$ $.

Se essi sono entrambi più vicini a $ $B$ $ che a $ $A$ $ e $ $C$ $ il triangolo non può essere equilatero, dato che il massimo valore di $ $A'C'$ $ è minore del minimo valore possibile di $ $A'B'$ $:



Se $ $A', C'$ $ non sono entrambi vicino allo stesso vertice del triangolo, allora ognuno dei tre punti è vicino ad un suo vertice, così:



Ma nessun $ $P$ $ potrà mai dare questa configurazione, se tracciamo l'altezza da $ $C$ $ si vede che $ $AA'$ $ interseca $ $CC'$ $ a sinistra dell'altezza e $ $BB'$ $ a destra.

Quindi in caso di un triangolo equilatero il ceviale è equilatero solo per $ $P$ $ incentro.

L'ho fatta lunga per un caso così idiota ma non so il livello del problema e quindi ho postato il risultato parziale prima di chiedere a Gabriel

"A che livello è il problema?"

Così so se posso lasciarlo perdere... mi sa di si visto il generale successo dei problemi di Gabriel in questa sezione

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

beh di solito il caso particolare col triangolo equilatero dice poco o va considerato a parte. Comunque il problema è di livello superiore a un IMO

a chi interessasse il risultato:

Il luogo dei punti è un solo punto, il punto notevole X(370)

Sarebbe bello se qualcuno trovasse una soluzione non analitica anche se pare difficile.

[Haile]

beh di solito il caso particolare col triangolo equilatero dice poco o va considerato a parte.

Beh, certamente.

Comunque il problema è di livello superiore a un IMO

Ah... credo che andrò a fare una passeggiata allora