f ha valori primi allora f è primo

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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f ha valori primi allora f è primo

Messaggio da jordan » 15 feb 2009, 19:37

Mostrare che se un polinomio $ f(x) \in \mathbb{Z}[X] $ è primo per ogni $ x $ intero, allora $ f $ è costante :wink:


ps very very easy..
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Veluca
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Messaggio da Veluca » 15 feb 2009, 21:27

Ipotizziamo per assurdo che f(x) non sia costante.
sia $ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 $. Esisterà qualche x nella forma $ ka_0 $ per cui $ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x $ è diverso da 0, quindi $ f(ka_0)=a_0[(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x)/a_0+1] $, quindi qualche f(x) non è primo --> assurdo
spero di non aver sbagliato xD

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jordan
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Messaggio da jordan » 15 feb 2009, 22:21

$ |a_0|=1 $? :wink:
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Veluca
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Messaggio da Veluca » 15 feb 2009, 22:47

ero convinto di averlo scritto... vabbeh ^^'... se $ a_0=\pm1 $ f(0) non è primo

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jordan
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Messaggio da jordan » 15 feb 2009, 23:26

eh si, 1 non è primo.. :D (hai dimenticato di scrivere il caso $ a_0=0 $ ma è scontato in quanto $ f(x) $ addirittura si fattorizza)

Soluzione alternativa
$ f(1)=p|f(np+1) $, ma $ \lim_{x \to +\infty}{|f(x)|}=+\infty $ :D
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