Non ci riesco proprio...

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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pikkioroco90
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Non ci riesco proprio...

Messaggio da pikkioroco90 » 25 apr 2009, 11:54

Ciao sono un utente appena arrivato. Mi potreste dare la soluzione di questo problema che mi sta facendo impazzire!?
Grazie!

Si consideri l’espressione

4^x+4^y+4^z
dove x, y, z sono interi non negativi.

(i) Provare che la quantit`a sopra scritta `e un quadrato perfetto per
infinite terne di interi (x,y, z).

(ii) Determinare tutte le terne di interi non negativi (x,y, z) tali che la
quantit`a sopra scritta sia un quadrato perfetto.
Ogni vita segue il suo asintoto

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 25 apr 2009, 12:35

E' teoria dei numeri non algebra comunque proviamoci..

$ 4^x+4^y+4^z=k^2 $con $ x,y,z,k $ interi.

Si ha $ (4^\frac{x}{2}+4^\frac{y}{2})^2=k^2 $
E se $ 2\cdot2^x\cdot2^y=4^z $ abbiamo risolto.
Applicando le proprietà delle potenze si ha $ 2^{x+y+1}=2^{2z} $ e quindi deve essere $ z=\frac{x+y+1}{2} $. Identico ragionamento lo puoi fare ovviamente per ricavarti la $ x $ e la $ y $ e hai risolto.

E' corretto?
Ultima modifica di ndp15 il 25 apr 2009, 12:54, modificato 1 volta in totale.

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julio14
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Messaggio da julio14 » 25 apr 2009, 12:52

ndp15 ha scritto:Si ha $ (4^\frac{x}{2}+4^\frac{y}{2}+(2\cdot2^x\cdot2^y))^2=k^2 $
eh? perché dovrebbe essere proprio in quella forma? inoltre se sostituisci il 4^z e svolgi la parentesi non torni alla forma iniziale.
Comunque non hai scritto le soluzioni...

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 25 apr 2009, 12:56

julio14 ha scritto:
ndp15 ha scritto:Si ha $ (4^\frac{x}{2}+4^\frac{y}{2}+(2\cdot2^x\cdot2^y))^2=k^2 $
eh? perché dovrebbe essere proprio in quella forma? inoltre se sostituisci il 4^z e svolgi la parentesi non torni alla forma iniziale.
Comunque non hai scritto le soluzioni...
Scusa è che sto mangiando e mi sono accorto esattamente a metà del primo che avevo sbagliato a scrivere :) . Guarda ora se va.

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julio14
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Messaggio da julio14 » 25 apr 2009, 13:16

per il primo punto funziona... per il secondo non è detto che siano tutte di quella forma le soluzioni
(btw il primo si fa più facilmente con la terna (n,n+1,n+1))

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 25 apr 2009, 13:36

Si hai completamente ragione. Ora vedo se sono in grado di fare anche la seconda parte.

Kopernik
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Messaggio da Kopernik » 25 apr 2009, 15:31

Ritiro tutto quello che avevo scritto prima. Era una sciocchezza.
Ultima modifica di Kopernik il 25 apr 2009, 16:24, modificato 2 volte in totale.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

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julio14
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Messaggio da julio14 » 25 apr 2009, 15:51

x=y=0 e z=2a ?? guarda che al contrario non c'è neanche una soluzione con queste terne

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kn
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Messaggio da kn » 25 apr 2009, 15:57

Questo problema andrebbe in Teoria dei Numeri, comunque (se ardete dal desiderio di vedere la soluzione) è stato già risolto due volte (da kn e da Ani-sama)

Consiglio però di provare prima da soli (dato che è abbastanza carino per essere un SNS)... così magari scopriamo altre soluzioni! :)
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)

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