Un'alternativa a Mihailescu

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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kn
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Un'alternativa a Mihailescu

Messaggio da kn » 22 mag 2009, 15:35

Trovare tutti gli $ \displaystyle~(x,y)\in\mathbb{N}^2 $ tali che $ \displaystyle~|2^x-3^y|=1 $

P.S.: A questo punto...
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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 22 mag 2009, 18:29

per il caso 2^x-3^y>0 si trova facilmente che l'unica soluzione è x=2 y=1.
Invece il caso 2^x-3^y<0 è un po' più complicato (almeno lo è per me....) quindi sto ancora pensando a come risolverlo
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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julio14
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Messaggio da julio14 » 22 mag 2009, 21:21

mmm... mi è sfuggita la dimostrazione del primo. Ma forse non so leggere fra le righe, eh :D
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine, anche le donne sono macchine di Turing, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 22 mag 2009, 22:34

aspettavo di scriverla tutta insieme...comunque:
guardando le congruenze modulo 3 delle potenze di 2 troviamo che x è pari quindi x=2n. A questo punto diventa 3^y=(2^n+1)(2^n-1). Mettendo a sistema 2^n+1=3^k e 2^n-1=3^(y-k) con k>y/2. Quindi diventa 2^(n+1)=3^(y-k)*[3^(2k-y)+1] da cui ricaviamo che deve essere y-k=0 quindi k=y. Dopodichè abbiamo che 2^n-1=1 quindi n=1.
Pertanto l'unica soluzione nel primo caso è x=2 y=1
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

didudo
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Messaggio da didudo » 23 mag 2009, 14:36

se2^x-3^y<0>2^x quindi 3^y-2^x=1 una soluzione è x=1 y=1, per x>1 abbiamo che 2^x è congruo a 0 (mod 4) e quindi y=2y'.
si ha che (3^y'+1)(3^y'-1)=2^x quindi 3^y+1=2^a e 3^y-1=2^b con a+b=x
quindi 2^a-2^b=2 quindi a=2 e b=1:
l'unica soluzione per x>1 è:y=2 e x=3 se è sbagliato tutto potete tirarmi pomodori e mele marce. :oops:
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....

didudo
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Messaggio da didudo » 23 mag 2009, 14:38

nella prima riga intendevo dire che 3^y>2^x,scusatela mia tastiera,è la sua prima volta...
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....

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kn
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Messaggio da kn » 23 mag 2009, 17:20

scusatela mia tastiera,è la sua prima volta
:shock: :lol:

Bravo! Ora con questo puoi abbattere il problema di geda!
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SkZ
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Messaggio da SkZ » 23 mag 2009, 19:46

ecco, se poi quelle stesse formule le mettete dentro ai tag

Codice: Seleziona tutto

[tex][/tex]
precedute da un $ o ~ (altrimenti si mangia la formula nella produzione dell'immagine) fate anche un piacere a chi legge :roll:

Usare il $ ~\LaTeX $ non e' difficile :wink:
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

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kn
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Messaggio da kn » 23 mag 2009, 21:39

kn ha scritto:
scusatela mia tastiera,è la sua prima volta
:shock: :lol:
Forse non era colpa della tastiera: controlla di disattivare sempre l'HTML prima di inviare i messaggi, altrimenti < e > non vengono considerati come caratteri normali e ti sballano tutto (volendo nel Profilo puoi disabilitarlo permanentemente in modo che ci sia sempre già in automatico il segno di spunta affianco a Disabilita HTML nel messaggio... per farlo in fondo alla pagina del Profilo seleziona No sotto la voce Abilita sempre HTML) :wink:
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didudo
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Messaggio da didudo » 24 mag 2009, 14:32

grazie!!!!
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....

danielf
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Messaggio da danielf » 06 gen 2010, 15:38

Maioc92 ha scritto:Quindi diventa 2^(n+1)=3^(y-k)*[3^(2k-y)+1]
ma qui che fai? :oops:

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Messaggio da dario2994 » 06 gen 2010, 15:51

Riscrivo qui riassumendo (non so se siano uguali le soluzioni gia postate)... tra l'altro ho usato questo per risolverne un altro xD:
$ $2^x-3^y=1 $
x=1,y=0 da soluzione. Assumo y>0. Analizzando mod 3 risulta x pari. Perciò per qualche k vale:
$ (2^k-1)(2^k+1)=3^y $
Da cui si ricava che 2 potenze di 3 distano sono 2==> sono rispettivamente 1,3 da cui si ricava la soluzione x=2,y=1.
$ $3^y-2^x=1 $
x=1,y=1 da soluzione. Assumo x>1. Analizzando mod 4 risulta y pari. Perciò per qualche k vale:
$ (3^k-1)(3^k+1)=2^x $
Da cui si ricava che 2 potenze di 2 distano 2==> sono rispettivamente 2,4 da cui si ricava la soluzione x=3,y=2.
Quindi in tutto le soluzioni sono: (x,y)=(1,0);(2,1);(1,1);(3,2).
Spero di non aver toppato nulla...
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

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