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E' dato un numero reale $ x $ tale che
$ \dfrac{[x]}{x} = \dfrac{1}{x - [x]} $


(con $ [x] \in \mathbb{Z} \wedge [x] \leq x < [x] + 1 $ )

Trovare tutti i valori che può assumere $ x $ .

Non mi convince molto come ragionamento, comunque provo.

Poniamo $ x=n+\varepsilon $, con $ ~n\in\mathbb{Z} $ e $ \varepsilon\in]0,1[ $.
$ \dfrac{\left\lfloor x\right\rfloor}{x}=\dfrac{1}{x-\left\lfloor x\right\rfloor} $
$ \dfrac{n}{n+\varepsilon}=\dfrac{1}{\varepsilon} $
$ n\varepsilon=n+\varepsilon $
$ n=\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon-1} $

Però a questo punto pur avendo trovato un modo di esprimere $ ~n $ mi pare dura trovare tutti i possibili valori

Dai hai praticamente finito... prova con epsilon, e non n, come incognita.

Innanzitutto noto che $ x $ non può essere un numero intero.
Per cui se $ x $ è soluzione si può scrivere come: $ x= n+\delta $ dove $ n \in Z $ e $ 0 < \delta < 1 $. Inoltre $ \left\lfloor x \right\rfloor = n $
Nello specifico
$ \dfrac{n}{n+\delta} = \dfrac{1}{\delta} $
calcoliamo $ \delta $ in funzione di $ n $ ottenendo $ \delta = \dfrac{n}{n-1} $
per le condizioni iniziali $ 0<\delta<1 $ ovvero $ 0<\dfrac{n}{n-1} < 1 $ risolta per $ n<0 $
Le soluzioni sono tutte del tipo $ x = n+\dfrac{n}{n-1} $ con $ n \in Z \wedge n<0 $

anch'io l'ho risolto così,comunque $ n + \dfrac{n}{n-1} = \dfrac{n^2 - n}{n-1} + \dfrac{n}{n-1} = \dfrac{n^2 - n + n}{n - 1} = \dfrac{n^2}{n - 1} $