Porre a+b+c=1?
Porre a+b+c=1?
Bazzicando su MathLinks ho notato che quando risolvono delle disuguaglianze pongono sic et simpliciter a+b+c=1 (nel caso di tre variabili), quando nella consegna del problema chi scrive la traccia dice solo che i tre parametri sono reali positivi. C'è un motivo per il quale lo possono fare?
"La Morte sorride a tutti: un uomo non può fare altro che sorriderle di rimando" (Marco Aurelio)
Si fa perchè è comodo quando la disuguaglianza è omogenea.
Ora disuguaglianza omogenea significa che qualsiasi termine compare ad uno stesso grado:
$ \displaystyle \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge \frac{3}{2}(a+b+c) $ è omogenea (grado 1).
$ \displaystyle \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge \frac{3}{2} $ non lo è.
Ora, il vantaggio di essere omogenea è che se $ (a,b,c) $ è soluzione, anche $ (ka,kb,kc) $ lo è, con $ k $ positivo. Dunque, una disuguaglianza omogenea ti dà un grado di libertà in più rispetto a una non omogenea, per cui puoi imporre una condizione del tipo $ f(a,b,c)=t $ tra cui quella che dici di aver trovato su mathlinks. Chiaro?
Ora disuguaglianza omogenea significa che qualsiasi termine compare ad uno stesso grado:
$ \displaystyle \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge \frac{3}{2}(a+b+c) $ è omogenea (grado 1).
$ \displaystyle \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge \frac{3}{2} $ non lo è.
Ora, il vantaggio di essere omogenea è che se $ (a,b,c) $ è soluzione, anche $ (ka,kb,kc) $ lo è, con $ k $ positivo. Dunque, una disuguaglianza omogenea ti dà un grado di libertà in più rispetto a una non omogenea, per cui puoi imporre una condizione del tipo $ f(a,b,c)=t $ tra cui quella che dici di aver trovato su mathlinks. Chiaro?
Il teorema di Muirhead, detto volgarmente bunching, afferma che, dati
$ x_1, x_2, \ldots, x_n $ reali positivi
$ a_1, a_2, \ldots, a_n $ e $ b_1, b_2, \ldots, b_n $ n-uple di reali positivi ordinate in modo decrescente e tali che $ \displaystyle \sum_{i=1}^k a_i \geq \sum_{i=1}^k b_i $ per k<n e $ \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i $
Si ha
$ \displaystyle \sum_{sym} x_i^{a_i} \geq \sum_{sym} x_i^{b_i} $
Il simbolo $ \displaystyle \sum_{sym} $ indica la sommatoria simmetrica, ossia è una somma di tutti i possibili prodotti ottenibili permutando gli $ x_i $. A volte (ma adesso le fanno più difficli) una disuguaglianza si riesce a risolvere svolgendo una marea di calcoli e riconducendo poi il tutto in questa forma.
Se puoi usare Muirhead in realtà puoi anche usare l'AM-GM sugli stessi termini combinandoli in modo opportuno, ma Muirhead semplifica un po' le cose.
$ x_1, x_2, \ldots, x_n $ reali positivi
$ a_1, a_2, \ldots, a_n $ e $ b_1, b_2, \ldots, b_n $ n-uple di reali positivi ordinate in modo decrescente e tali che $ \displaystyle \sum_{i=1}^k a_i \geq \sum_{i=1}^k b_i $ per k<n e $ \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i $
Si ha
$ \displaystyle \sum_{sym} x_i^{a_i} \geq \sum_{sym} x_i^{b_i} $
Il simbolo $ \displaystyle \sum_{sym} $ indica la sommatoria simmetrica, ossia è una somma di tutti i possibili prodotti ottenibili permutando gli $ x_i $. A volte (ma adesso le fanno più difficli) una disuguaglianza si riesce a risolvere svolgendo una marea di calcoli e riconducendo poi il tutto in questa forma.
Se puoi usare Muirhead in realtà puoi anche usare l'AM-GM sugli stessi termini combinandoli in modo opportuno, ma Muirhead semplifica un po' le cose.
Presidente della commissione EATO per le IGO
condizioni aggiuntive le puoi aggiungere se la soluzione dipende da 1 o piu' parametri non determinabili dalle equazioni di partenza o condizioni al contorno
$ ~a+b>c\quad\Rightarrow\quad a+b-c>0 $ presenta in entrambi i membri le variabili allo stesso grado, ergo e' omogenea. Che vuol dire?
Sostituiamo $ ~k\neq0\;a=ka'\;b=kb'\;c=kc' $ e otteniamo
$ ~ka'+kb'-kc'>0\quad\Rightarrow\quad a'+b'-c'>0 $
ergo se $ ~(a,b,c) $ e' soluzione anche $ ~(a',b',c')=k(a,b,c) $ lo e'
ora in genere per qualunque soluzione $ ~(a',b',c') $ ho $ ~a'+b'+c'=s $, nulla da obiettare (chiamo s il valore della somma dei tre termini). Possiamo anche ritenere che derivi da una soluzione madre $ ~(a,b,c) $ e che lei sia ottenuta moltiplicando questa per un qualche $ ~k $. Fissiamo allora cosi' che sia $ ~k=s $, quindi $ ~a+b+c=1 $.
Dimostrato che qualunque soluzione $ ~(a',b',c') $ con $ ~a+b+c=s $ discende da una soluzione $ ~(a,b,c) $ con $ ~a+b+c=1 $
per chiarire prendiamo l'equazione $ ~a+b=c $ e cerchiamo soluzioni. E' omogenea ergo dipende da almeno 1 parametro. Poniamo ergo $ ~a+b+c=1 $ per restringere i casi: le soluzioni dipendono da un parametro ergo e' lecito farlo.
ora abbiamo che l'equazione diventa $ $c=\frac1 2 \quad\Rightarrow\quad a+b=\frac1 2 $
quindi le nostre soluzioni in generale saranno quelle esprimibili come $ $(kl,\frac k 2 -kl,\frac k 2) $
alla fine la soluzione dipende da 2 parametri distinti, corretto dato che abbiamo 3 variabili e 1 equazione. Potevamo imporre anche una seconda "condizione al contorno" per avere una soluzione e poi da questa costruire tutte le altre (in questo caso ho posto $ ~a=l $).
Notare che imponendo un'altra condizione al contorno posso ottenere la stessa cosa, come usare $ $c=\frac 1 2\;\; a=l $ e k costante moltiplicativa globale o $ $a=1\;\; c=\frac{1}{2l} $ e usando kl come costante moltiplicativa generale
$ ~a+b>c\quad\Rightarrow\quad a+b-c>0 $ presenta in entrambi i membri le variabili allo stesso grado, ergo e' omogenea. Che vuol dire?
Sostituiamo $ ~k\neq0\;a=ka'\;b=kb'\;c=kc' $ e otteniamo
$ ~ka'+kb'-kc'>0\quad\Rightarrow\quad a'+b'-c'>0 $
ergo se $ ~(a,b,c) $ e' soluzione anche $ ~(a',b',c')=k(a,b,c) $ lo e'
ora in genere per qualunque soluzione $ ~(a',b',c') $ ho $ ~a'+b'+c'=s $, nulla da obiettare (chiamo s il valore della somma dei tre termini). Possiamo anche ritenere che derivi da una soluzione madre $ ~(a,b,c) $ e che lei sia ottenuta moltiplicando questa per un qualche $ ~k $. Fissiamo allora cosi' che sia $ ~k=s $, quindi $ ~a+b+c=1 $.
Dimostrato che qualunque soluzione $ ~(a',b',c') $ con $ ~a+b+c=s $ discende da una soluzione $ ~(a,b,c) $ con $ ~a+b+c=1 $
per chiarire prendiamo l'equazione $ ~a+b=c $ e cerchiamo soluzioni. E' omogenea ergo dipende da almeno 1 parametro. Poniamo ergo $ ~a+b+c=1 $ per restringere i casi: le soluzioni dipendono da un parametro ergo e' lecito farlo.
ora abbiamo che l'equazione diventa $ $c=\frac1 2 \quad\Rightarrow\quad a+b=\frac1 2 $
quindi le nostre soluzioni in generale saranno quelle esprimibili come $ $(kl,\frac k 2 -kl,\frac k 2) $
alla fine la soluzione dipende da 2 parametri distinti, corretto dato che abbiamo 3 variabili e 1 equazione. Potevamo imporre anche una seconda "condizione al contorno" per avere una soluzione e poi da questa costruire tutte le altre (in questo caso ho posto $ ~a=l $).
Notare che imponendo un'altra condizione al contorno posso ottenere la stessa cosa, come usare $ $c=\frac 1 2\;\; a=l $ e k costante moltiplicativa globale o $ $a=1\;\; c=\frac{1}{2l} $ e usando kl come costante moltiplicativa generale
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E invece sì! Se "riscali" i numeri in modo che la somma faccia 1, c deve essere <1/2. Questo non significa che il c originale lo fosse.Dani92 ha scritto:Scusate, non mi è ancora chiaro perchè posso porre $ \displaystyle a+b+c=1 $ in una disugualianza omogenea...
Cioè per esempio (scusate la banalità) abbiamo
$ a+b>c $ non posso scrivere
$ a+b+c>2c $
$ \frac{1}{2}>c $
Grazie a chi mi chiarirà la questione!!
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill
esatto.
Le "condizioni al contorno" (per prendere in prestito un termine) si impongono per semplificare il problema. somma=1 sempre e' stupido.
Ad es.
$ $\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}=1\qquad a,b,c\in\mathbb{R}^+ $
e' omogenea. in tal caso puo' convenire porre $ ~abc=1 $
Le "condizioni al contorno" (per prendere in prestito un termine) si impongono per semplificare il problema. somma=1 sempre e' stupido.
Ad es.
$ $\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}=1\qquad a,b,c\in\mathbb{R}^+ $
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Se ci sono si. Ti semplifichi il problema di cercare soluzioni. A volte la strada puo' essere "tortuosa" o non banale.
Caso di prima:
$ $\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}=1\qquad a,b,c\in\mathbb{N}^0 $
porre $ ~abc=1 $ e ottenere $ ~a^3+b^3+c^3=1 $ non va bene dato che non ammettono soluzioni con interi positivi. E allora? E allora me ne infischio e invece pongo $ ~a,b,c\in\mathbb{Q}^+ $
ottengo cosi' che le mie soluzioni sono l'intersezione tra la "sfera unitaria in norma3" e $ ~abc=1 $ (ha un nome particolare?
) che non ha soluzioni.
Ergo non ci sono soluzioni.
Per spiegarti meglio il passaggio coi razionali consideriamo
$ $\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}=\frac 1 8\qquad a,b,c\in\mathbb{N}^0 $ e poniamo $ $abc=\frac 1 8 $ ottenendo $ ~a^3+b^3+c^3=1 $ e ce ne infischiamo di nuovo.
Ammettiamo che esista una soluzione nei razionali positivi, che si fa? Si cerca il minimi n tale che, moltiplicando per n la soluzione, ottengo una terna di interi (in pratica n e' il mcm dei 3 denominatori).
Ottenuta la nostra soluzione base con interi positivi.
Caso di prima:
$ $\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}=1\qquad a,b,c\in\mathbb{N}^0 $
porre $ ~abc=1 $ e ottenere $ ~a^3+b^3+c^3=1 $ non va bene dato che non ammettono soluzioni con interi positivi. E allora? E allora me ne infischio e invece pongo $ ~a,b,c\in\mathbb{Q}^+ $
ottengo cosi' che le mie soluzioni sono l'intersezione tra la "sfera unitaria in norma3" e $ ~abc=1 $ (ha un nome particolare?
) che non ha soluzioni.Ergo non ci sono soluzioni.
Per spiegarti meglio il passaggio coi razionali consideriamo
$ $\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}=\frac 1 8\qquad a,b,c\in\mathbb{N}^0 $ e poniamo $ $abc=\frac 1 8 $ ottenendo $ ~a^3+b^3+c^3=1 $ e ce ne infischiamo di nuovo.
Ammettiamo che esista una soluzione nei razionali positivi, che si fa? Si cerca il minimi n tale che, moltiplicando per n la soluzione, ottengo una terna di interi (in pratica n e' il mcm dei 3 denominatori).
Ottenuta la nostra soluzione base con interi positivi.
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