SNS 2000/2001 n 3

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mrossi
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SNS 2000/2001 n 3

Messaggio da mrossi » 10 ago 2009, 11:07

Sia $ I $ l'intervallo chiuso $ [0,1] $. Determinare tutte le funzioni surgettive $ f: I \rightarrow I $ che non aumentano le distanze, ovvero tali che $ |f(x)-f(y)| \leq |x-y| $ per ogni x, y appartenenti a I

Sia T il sottoinsieme del piano costituito dai 3 lati (vertici compresi) di un triangolo scaleno. Determinare tutte le funzioni surgettive $ f : T \rightarrow T $ tali che $ dist(f(P),f(Q)) \leq dist(P,Q) $ per ogni P,Q appartenente a T.

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 10 ago 2009, 12:04

come mai è in matematica non elementare? La prima parte si può fare tranquillamente in modo elementare ed anche la seconda credo
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

mrossi
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Messaggio da mrossi » 10 ago 2009, 13:27

Come?

Io per la prima ho utilizzato la derivata. Tu come hai fatto?

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 10 ago 2009, 13:45

allora ecco come ho fatto io: poichè f è surgettiva allora esisteranno $ k,h $
tali che $ f(k)=1,f(h)=0 $. Sostituendo troviamo che $ |k-h|\ge 1 $, ma poiche $ 0\le h,k\le 1 $ l'unica possibilità è $ k=0,h=1 $ o $ k=1,h=0 $, ovvero che $ f(0)=0,f(1)=1 $ o viceversa. Se ora sostituiamo y=0 e y=1 troviamo $ |f(x)-f(0)|\le x $ e $ |f(x)-f(1)|\le x-1 $. Sostituendo i possibili valori di f(0) e f(1) troviamo nel primo caso $ f(x)\le x $ e $ f(x)\ge x $,quindi $ f(x)=x $.
Nel secondo caso troviamo $ f(x)\le 1-x $ e $ f(x)\ge 1-x $, quindi $ f(x)=1-x $ e cosi dovrei aver concluso.
Tutto questo solo perchè non so ancora niente di integrali e derivati, quindi devo trovare metodi alternativi.

Per il secondo punto forse sono io che ho capito male, ma mi sembra impossibile che la funzione sia surgettiva
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

mrossi
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Messaggio da mrossi » 10 ago 2009, 13:57

Il primo punto viene anche a me così, per il secondo anch'io mi sono trovato in difficoltà. Il testo però l'ho copiato pari pari

Pairo
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Messaggio da Pairo » 10 ago 2009, 15:27

Io ho dato una soluzione pseudo geometrica.

Chiamiamo ABC il triangolo contenente i punti di T. Il triangolo è scaleno, quindi un lato sarà maggiore degli altri 2, diciamo BC. Prendendo le varie possibilità, si vede che la massima distanza fra 2 punti all'interno del triangolo è proprio il lato maggiore; quindi, i punti a cui sono associati B e C devono essere per forza B e C . Ci sono 2 possibilità:

1) ad A è associato A e a B è associato B: in questo caso si vede che tutti i punti di BC devono corrispondere a se stessi; infatti se ad un punto P fosse associato un'altro punto di BC o uno degli altri due lati la sua distanza da almeno uno dei due vertici aumenterebbe. Si verifica poi che il terzo vertice A deve essere associato a se stesso (perché qualsiasi altro punto non potrebbe essere associato ad A, altrimenti la sua distanza da almeno uno dei due vertici B o C aumenterebbe). Segue che la trasformazione f è l'identità.

2) ad A è associato B e a B è associato A. In questo caso è evidente che nessun punto potrebbe essere associato ad A (nemmeno A) perché altrimenti aumenterebbe la sua distanza da almeno uno dei due vertici (ovviamente si verifica anche questo geometricamente.) Quindi questo caso è impossibile.

Quindi l'unica funzione possibile è l'idendità

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 10 ago 2009, 17:20

mrossi ha scritto:Io per la prima ho utilizzato la derivata.
Sei consapevole dell'esistenza di funzioni non derivabili, vero?
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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Messaggio da Maioc92 » 10 ago 2009, 17:37

Pairo ha scritto: Quindi l'unica funzione possibile è l'idendità
Io continuo a non capire come sia possibile che la funzione sia surgettiva. Mi spiego meglio: se con T intendiamo tutti i punti appartenenti ai 3 lati di coordinate (x,y) avremo che ogni coordinata x (escluse quelle dei 2 estremi più esterni) individua 2 punti. Pertanto se f fosse surgettiva l'immagine avrebbe cardinalità maggiore del dominio,assurdo. Ora dov'è che sbaglio in questo ragionamento?
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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 10 ago 2009, 17:42

Maioc92 ha scritto:Ora dov'è che sbaglio in questo ragionamento?
Che adoperi una definizione di surgettività incomprensibile. Quindi, giustamente, non la comprendi. Sai cosa significa che una funzione $ f:A\rightarrow B $ è surgettiva?

P.S. Sbagli anche il discorso sulle cardinalità, ma ci torniamo dopo.
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Messaggio da Maioc92 » 10 ago 2009, 17:55

che la sua immagine corrisponde al codominio? Finora l'ho sempre intesa cosi.....
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Messaggio da SkZ » 10 ago 2009, 18:05

$ ~f: X\to Y $ dicesi funzione surriettiva, se ad ogni elemento di X associa un solo elemento di Y (funzione) e ogni elemento di Y e' immagine di un elemento di X (surriettivita')
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 10 ago 2009, 18:08

Maioc92 ha scritto:che la sua immagine corrisponde al codominio? Finora l'ho sempre intesa cosi.....
Sì. Cioè, che la sua immagine è il codominio.
In generale vuol dire che l'immagine di f è B. Quindi, per ogni punto b di B esiste un punto a in A tale che f(a)=b.
Nel caso del problema, dominio e codominio sono T, e T è un insieme di punti del piano formato dai 3 lati di un triangolo. Quindi per ogni punto P di 'sto triangolo, deve esistere un punto P' del triangolo tale che f(P')=P. Ora vedi bene che l'identità soddisfa banalmente questa condizione.

Se è chiaro questo, passiamo a discutere di cardinalità.
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Messaggio da Maioc92 » 10 ago 2009, 18:15

allora mi ero preso un abbaglio...non tanto per la surgettività quanto per come avevo inteso il problema. Io pensavo che la funzione riguardasse le coordinate dei punti e non i punti stessi, cioè pensavo che come nel piano cartesiano f(x) fosse la coordinata y del punto :oops:
Ora ho capito grazie
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Messaggio da Tibor Gallai » 10 ago 2009, 18:22

Infatti penso che questo sia uno dei famigerati problemi di comprensione del testo in matematichese. Una volta capito il testo, non c'è molto da ragionare.

Sulla cardinalità: qualsiasi insieme infinito X ha la stessa cardinalità di sé stesso "raddoppiato". Detto più precisamente, $ $|X| = |\{0,1\}\times X| $.
Dimostralo per esercizio nel caso molto facile in cui $ $X=\mathbb N $.
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Messaggio da Agi_90 » 10 ago 2009, 18:49

Bonus: Sia $ A $ l'area di piano racchiusa dentro il triangolo, trovare tutte le funzioni $ f: A \to A $ con le stesse ipotesi di prima. :D
[url]http://www.agiblog.it/[/url]
Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"

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