Se i punti sono troppi staranno stretti!

[Anér]

Sia X un insieme di punti nello spazio $ \mathbb{R}^n, n\in\mathbb{N} $, contenente un'infinità più che numerabile di punti. Dimostrare che tutti i punti di X sono di accumulazione per X tranne al più un'infinità numerabile.

[Tibor Gallai]

E' un lemma che torna utile studiando teoria della misura elementare.
Ho continuato a vederlo dimostrato in modi arbitrariamente contorti, finché ho pensato questo:

Attorno ad ogni punto isolato di X esiste una palla che non ha altre intersezioni con X. Dimezziamo i raggi di tutte queste palle, in modo che le loro parti interne siano a due a due disgiunte. Ogni palla contiene un punto razionale, e tali punti sono numerabili. QED.

[Anér]

Sì, io avevo pensato di togliere tutti i punti di accumulazione, dividere lo spazio in cubi unitari a n dimensioni, prendere delle sfere con centro nei punti rimasti e non contenenti altri punti (tali sfere esistono perché i punti rimasti non erano e non sono di accumulazione), dimezzarle, così sono tutte distinte, e poi constatare che in ogni cubo esistono al più $ \frac{volume del cubo}{k} $ punti con la sfera relativa di volume almeno k; poi si moltiplica k per 1/2 e per le sue potenze, e si fa un'unione numerabile di insiemi finiti (e ogni punto rimasto è incluso in almeno un insieme) ottenendo l'insieme dei punti rimasti nel cubo. Poiché ogni cubo contiene al più un'infinità numerabile di punti e i cubi sono numerabili, l'insieme dei punti rimasti è al più numerabile.

Ma effettivamente associando un numero razionale qualsiasi a ogni palla si fa prima!

[edriv]

Ancora più easy:
consideriamo le palle di centro razionale (in ogni coordinata) e raggio razionale, che sono numerabili. Ad ogni punto isolato associamo una di queste palle che contenga il punto e sia disgiunta dagli altri punti. Così otteniamo una funzione iniettiva dall'insieme che vogliamo contare ad un insieme numerabile.