SNS 2009/2010. n°4.

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
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jordan
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SNS 2009/2010. n°4.

Messaggio da jordan » 27 ago 2009, 22:43

Su un piano cartesiano è disposta una rete metallica costituiti da fili rettilinei che, incrociandosi perpendicolarmente, formano quadrati di lato unitario. La rete è disposta con fili paralleli agli assi coordinati e gli incroci nei punti con coordinate intere. Una formica si muove lungo la rete, scegliendo a caso, ad ogni incrocio, quale direzione prendere, ma sempre nel verso positivo degli assi coordinati.
a) La formica ha percorso un cammino dall'origine (0,0) al punto di coordinate (m,n) con min{m,n}>0. Qual è probabilità che sia passata per un dato punto (i,j)?
b) Per quali punti (i,j) del rettangolo di vertici (0,0),(m,0),(n,0),(m,n) tale probabilità è minima?
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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 27 ago 2009, 22:54

per il punto a dovrebbe essere $ \displaystyle \frac{\binom{i+j} i\binom{m+n-i-j}{m-i}}{\binom{m+n} m} $, ovvero ilo numero di strade che vanno da (0,0) a (i,j) moltiplicato per il numero di strade che vanno da (i,j) a (m,n) e troviamo i casi favorevoli, che ovviamente dividiamo per i casi possibili, ovvero per il numero di strade che va da (0,0) a (m,n), Può essere?
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

pak-man
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Messaggio da pak-man » 27 ago 2009, 22:57

Maioc92 ha scritto:il numero di strade che vanno da (0,0) a (i,j) moltiplicato per il numero di strade che vanno da (i,j) a (m,n) che dividiamo per il numero di strade che va da (0,0) a (m,n), Può essere?
Esattamente quello che pensavo anch'io

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 27 ago 2009, 22:59

pak-man ha scritto:Esattamente quello che pensavo anch'io
ok, questo mi conforta :D
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 27 ago 2009, 23:01

Prima di tutto calcolo tutti i modi di arrivare a (m,n); questi sono rappresentabili come i modi di piazzare "le frecce su" in mezzo a tutte le frecce che identificano il cammino: essendo le frecce su n; le frecce totali m+n ottengo:
$ {m+n \choose n} $
Invece per calcolare i modi passando per (i,j) uso un metodo analogo ma immaginando dal punto (0,0) a (i,j) e dal punto (i,j) a (m,n) sviluppando come prima ottengo:
$ {i+j\choose i}{m+n-i-j\choose m-i} $
La probabilità è data dal rapporto dei 2 valori perciò è:
$ \displaystyle\frac{{i+j\choose i}{m+n-i-j\choose m-i}}{{m+n \choose n}} $
Per avere la probabilità minima devo minimizzare il numeratore dato che il denominatore è fissato. Prima di tutto noto che ottengo 1 con queste 2 coppie:
$ (i,j)=(0,n);(m,0) $
Detto questo dimostro che sono le uniche che realizzano 1 perchè il primo binomiale diventa 1 solo se i o j equivale a 0. Mentre il secondo solo se i=m oppure j=n.
Per giustificare questo basta usare il lemma noto (e facile facile da dimostrare):
$ {a\choose b}=1\Rightarrow b=0\ oppure\ b=a $

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SARLANGA
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Messaggio da SARLANGA » 28 ago 2009, 21:06

e se fosse p(i;j) = (1/2)^(i+j) quando i+j <m> (m+n)/2

non è più semplice? priva del binomiale, mi sembra + immediata, che ne dite?
Ultima modifica di SARLANGA il 29 ago 2009, 00:17, modificato 1 volta in totale.

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kn
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Messaggio da kn » 28 ago 2009, 21:49

Maioc92 ha scritto:
pak-man ha scritto:Esattamente quello che pensavo anch'io
ok, questo mi conforta :D
Anche con Bayes si ottiene lo stesso risultato :D
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 28 ago 2009, 22:34

kn ha scritto:Anche con Bayes si ottiene lo stesso risultato :D
perdona l'ignoranza, ma cos'è bayes? :roll:
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 28 ago 2009, 23:35

Un mucchietto di ceneri sparpagliate.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 29 ago 2009, 00:23

Tibor Gallai ha scritto:Un mucchietto di ceneri sparpagliate.
Non mi pare, credo che l'abbiano sepolto da qualche parte, in realtà.

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 29 ago 2009, 00:45

Però vedendo tutto quello che è successo a quel cimitero in 250 anni, dalla conversione in un parco ai bombardamenti, mi sembra strano che non sia mai stato riesumato.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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FeddyStra
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Messaggio da FeddyStra » 29 ago 2009, 00:50

Wikipedia ha scritto:Bayes died in Tunbridge Wells, Kent. He is buried in Bunhill Fields Cemetery in London where many Nonconformists are buried.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 29 ago 2009, 01:09

Wikipedia ha scritto:it was laid out as a public open space with seating, gardens, and the restoration of some of its most worthy monuments. The new park was opened by the Lord Mayor on October 14 1869.
[...]
The main burial ground was also severely damaged by German bombing during World War II
Io, nel convertire da cimitero a giardino, avrei riesumato tutto quanto.
Poi non è che le ossa si conservino proprio alla perfezione in 250 anni anche in una bara, a prescindere da tutto. Almeno credo...
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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gian92
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Messaggio da gian92 » 01 apr 2010, 17:44

in tutto questo non ho capito cosa c'entri Bayes :!: :D

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