Galileiana 2009 n. 10 - Matematica

[Davide90]

Dimostrare che per ogni intero $ $ n \geq 2 $ valgono le disuguaglianze

$ $0 < \log(n!) - (n \log n - n+1) < \log n $,
(considerare$ \int_1^n \log x \,\mbox{d} x \ldots ) $ e servirsene per calcolare:

$ $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} $

($ \log $ rappresenta il logaritmo naturale in base $ e $ )

[Davide90]

Come direbbe Marzullo, mi faccio una domanda e mi do una risposta.

Posto la dimostrazione della disuguaglianza, in parte suggeritami da g(n).

L'idea fondamentale è che l'area sottesa dal logaritmo naturale (il suo integrale) è minore dell'area che si ottiene considerando rettangoli di base unitaria, e altezza pari al massimo della funzione in quell'intervallo unitario.
Poichè il logaritmo è funzione monotona crescente, il massimo di $ \ln x $ in un intervallo $ [k;k+1] $ è dato da $ \ln (k+1)\ \forall k \in \mathbb{R} $. Quindi
$ $ \ln2+\ln3 +\ldots +\ln n > \int_1^n \ln x\ \text{d}x \Rightarrow \ln (n!)>[x(\ln x -1)]_1^n= n \log n - n+1 $ $

Consideriamo ora, tra le approssimazioni grafiche dell'integrale del logaritmo, l'area $ \mathcal{A_+} $ ottenuta per eccesso e l'area $ \mathcal{A_-} $ ottenuta per difetto, prendendo come altezza dei rettangolini il minimo di $ \ln x $ nell'intervallo $ [k;k+1] $ , cioè $ \ln k $.
È evidente che $ \mathcal{A_-} < \int_1^n \ln x\ \text{d}x $ ; cambiando segno, e aggiungendo $ \mathcal{A_+} $ a entrambi i membri, otteniamo
$ \mathcal{A_+} - \mathcal{A_-} > \mathcal{A_+} - \int_1^n \ln x\ \text{d}x $
$ (\ln2+\ln3 +\ldots +\ln n) -(\ln1 +\ln2 +\ldots +\ln (n-1) ) =\ln n > \log(n!) - (n \log n - n+1) $

Continuerò a meditare per risolvere la parte del limite...

[didudo]

molto fico,non so se mi sarebbe venuto in mente là...

[Davide90]

Già, g(n) mi ha suggerito la prima disuguaglianza e poi ho avuto l'idea per la seconda, nel complesso è abbastanza mmaura come disuguaglianza...

Comunque credo fosse il problema un po' più difficile (anche la somma dei cubi, se non hai mai visto la dimostrazione [o come me non la ricordi] poteva essere impegnativo).

Comunque la scimmietta padovana era un po' più in forma di quella pisana, si vede che stava fumando un po' di meno ultimamente... XD

P.S.: idee per il limite?

[Agi_90]

umh non vorrei scrivere castronerie:

$ \displaystyle \log\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \frac{\log n! -n\log n}{n} $

ora dividiamo la disuguaglianza per $ n $, otteniamo:

$ \displaystyle 0 < \frac{\log n! - n\log n + n -1}{n} < \frac{\log n}{n} $

Ma se facciamo li limite a destra e a sinistra vediamo che entrambi sono 0 quindi per il teorema dei carabinieri:

$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\log n! - n\log n + n -1}{n} = \lim_{n \to \infty} \log\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} + 1 = 0 $

da cui

$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \frac{1}{e} $

[Davide90]

Giusto, io portavo tutto quel che non serviva da una parte e rimaneva fuori qualcosa... Good!