Testi Oliforum contest 2009. Round 1.

[jordan]

Buongiorno,
come l'anno passato, allego di sotto le regole per partecipare al contest online che avrà inizio domani pomeriggio:

1- Il contest sarà composto da due round.

2- Ogni round è composto da alcuni problemi dimostrativi, a ognuno dei quali verrà assegnato un punteggio da 0 a 7: 6 per tutte quelle corrette, 7punti a quelle corrette, pulite e originali.

3- E' stato pensato per studenti liceali, o anche universitari o più, a patto che non usino argomenti prettamente non olimpici, che in tal caso invaliderebbero la soluzione.

4- La classifica sarà unica per tutte le soluzioni che perverranno.

5- Il primo round inizia alle ore 17:00 di lunedì 28 settembre 2009, e termina alle ore 17:00 di mercoledì 30 : hai quindi si ha 48 ore di tempo.

6- L'iscrizione non è necessaria, è sufficiente spedire la soluzione.

7- Il tempo di arrivo non sarà preso in considerazione.

8- Modalità di spedizione soluzioni.
- La spedizione degli esercizi svolti va effettuata via email a entrambi gli indirizzi: pao_leo88@hotmail.it e leonettipaolo@gmail.com
- Spedite le soluzioni allegate in un solo file, formato pdf e dimensioni ragionevoli, per ogni persona, ed una sola volta; istruzioni su come usare scrivere in latex e creare un pdf da un file .tex ne trovate nell'apposita sezione di questo forum. (qua viene spiegato come creare file pdf con programmi o direttamente da internet.)
- Usate come nome del file il nome con cui vi siete iscritti al contest, quindi presumibilmente il vostro nick sul forum.
- Non scrivete nient'altro nella email se non è di fondamentale importanza.
- Cercate il più possibile di venire incontro al correttore, scrivendo in modo chiaro e conciso..
- Saranno accettate anche soluzioni inviate per messaggio privato al sottoscritto.

Sotto questo topic, insieme alla lista dei problemi, scriverò i nomi di tutti coloro che hanno inviato correttamente la soluzione.

Per ogni dubbio, non esitate a chiedere su quest'altro thread (per cui evitare di rispondere qui..)


Grazie dell'attenzione

[jordan]

Problema 1
Sia $ \sigma(\cdot): \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0 $ la funzione che associa a ogni $ n \in \mathbb{N} $ la somma dei suoi divisori $ \sum_{d \mid n}{d} $ (ad esempio $ \sigma(6)=6+3+2+1 $ e $ \sigma(8)=8+4+2+1 $).
Trovare tutti i primi $ p \in \mathbb{P} $ tali che $ p \mid \sigma(p-1) $.
(Salvatore Tringali)


Problema 2
Sia $ \phi $ la radice reale positiva di $ x^2-x-1 $ e siano $ a,b,c,d $ dei reali positivi tali che $ (a+2b)^2=4c^2+1 $.
Mostrare che $ \displaystyle 2d^2+a^2\left(\phi-\frac{1}{2}\right)+b^2\left(\frac{1}{\phi-1}+2\right)+2 \ge 4(c-d)+2\sqrt{d^2+2d} $ e trovare tutti i casi di uguaglianza.
(A.Naskov)


Problema 3
Preso un quadrilatero ciclico $ ABCD $ sia $ E $ l'intersezione di $ AC $ con $ BD $ e sia $ \Gamma $ una circonferenza tangente internamente all'arco $ BC $ (non contenente $ D $) in $ T $ e tangente a $ BE $ e $ CE $. Chiamiamo $ R $ il punto di incontro della bisettrice di $ \angle ABC $ con la bisettrice di $ \angle BCD $ e $ S $ l'incentro di $ BCE $. Dimostrare che $ R $, $ S $ e $ T $ sono allineati.
(Gabriel Giorgieri)


Problema 4
Sia $ m $ un intero positivo e $ p $ un numero primo, entrambi fissati. Sia $ S $ l'insieme di tutte le $ m $-uple di interi positivi $ \vec{v}=(v_1,v_2,\ldots,v_m) $ tali che $ 1 \le v_i \le p $ per ogni $ 1 \le i \le m $. Definiamo inoltre la funzione $ f(\cdot):\mathbb{N}^m \to \mathbb{N} $, che associa a ogni $ m $-upla di interi non negativi $ (a_1,a_2,\ldots,a_m) $ l'intero $ \displaystyle f(a_1,a_2,\ldots,a_m)=\sum_{\vec{v} \in S} \left(\prod_{1 \le i \le m}{v_i^{a_i}} \right) $. Trovare tutte le $ m $-uple di interi non negativi $ (a_1,a_2,\ldots,a_m) $ tali che $ p \mid f(a_1,a_2,\ldots,a_m) $.
(Pierfrancesco Carlucci)


Problema 5
Sia $ X:=\{x_1,x_2,\ldots,x_{29}\} $ un insieme di $ 29 $ ragazzi, che si sfidano ad un torneo di Pro Evolution Soccer 2009, rispettando le seguenti regole:

• i) ogni ragazzo gioca una e una sola volta contro tutti gli altri (possiamo quindi assumere che ogni partita ha la forma $ (x_i \text{ Vs } x_j) $ per qualche $ i \neq j $);
  ii) se la partita $ (x_i \text{ Vs } x_j) $, con $ i \neq j $, termina con la vittoria del ragazzo $ x_i $, allora quest’ultimo guadagna $ 1 $ punto, mentre l’altro non guadagna alcun punto;
  iii) se la partita $ (x_i \text{ Vs } x_j) $, con $ i \neq j $, termina con un pareggio allora viene assegnato $ \frac{1}{2} $ punto a ciascuno dei due ragazzi.

(Assumiamo per semplicità che se ha luogo la partita immaginaria $ (x_i \text{ Vs } x_i) $ allora questo ragazzo non guadagna alcun punto).
Mostrare che per qualche intero positivo $ k \le 29 $ esiste un insieme di ragazzi $ \{x_{t_1},x_{t_2},\ldots,x_{t_k}\} \subseteq X $ tali che, per ogni scelta dell’intero positivo $ i \le 29 $, il ragazzo $ x_i $ guadagna un numero intero di punti nel totale delle partite $ \{(x_i \text{ Vs } x_{t_1}),(x_i \text{ Vs } x_{t_2}),\ldots, (x_i \text{ Vs } x_{t_k})\} $.
(Paolo Leonetti)


In bocca al lupo!
Per ogni chiarimento non esitate a chiedere in mp.

[jordan]

Ho ricevuto soluzioni da: Ahwingsecretagent, NickNafplio, Zhero, Bugi, azjps, Palina.41, mavropnevma, geda, mod_2, TBPL, dario2994, exodd, Giuseppe_R, kn, Maioc92, String. Se qualcuno avesse spedito le soluzioni e non si trova in questa lista, lo faccia presente..

[jordan]

Ok gente, ecco i risultati del primo round
mavropnevma- 7/7/0/7/7
TBPL- 7/7/0/3/7
exodd- 7/7/0/5/0
azjps- 7/5/0/7/0
Zhero- 7/3/0/7/0
NickNapflio- 7/7/0/2/0
Maioc92- 7/7/0/0/0
kn- 7/0/0/7/0
dario2994- 2/4/0/7/0
mod_2- 7/1/0/5/0
Bugi- 6/6/0/0/0
String- 7/0/0/0/0
Palina.41- 7/0/0/0/0
geda- 7/0/0/0/0
Ahwingsecretagent- 7/0/0/0/0
Giuseppe_R-1/0/0/0/0

Per ogni chiarimento sui punteggi contattemi per mp