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Sia ABC un triangolo e P un punto interno tale che detti A' il secondo punto di intersezione della crf di centro B passante per P con quella di centro C passante per P e B', C' ciclicamente abbiamo che AA', BB'. CC' concorrono in un punto T. Chiamiamo O il circocentro di A'B'C'. Dimostrare che P, O, T sono allineati.

ABC e A'B'C' sono ortologici di centri O e P.

Infatti A' è il simmetrico di P rispetto a BC (analogamente B' e C').
Dunque $ A'P\ \perp \ BC $ e cicliche.

Inoltre sull'asse di B'C' stanno O (ovviamente) e A (perché B' e C' sono su una circonferenza di centro A).
Dunque $ AO\ \perp \ B'C' $ e cicliche.

Essendo ABC e A'B'C' perspettici di centro T,
si ha O,P,T allineati.

ghilu ha scritto:si ha O,P,T allineati.

eh già Teorema di Sondat

Ma cosa afferma esattamente il Teorema di Sondat?
Esattamente il fatto che il centro di perspezione e i due centri ortologici sono allineati?

ghilu ha scritto:Ma cosa afferma esattamente il Teorema di Sondat?
Esattamente il fatto che il centro di perspezione e i due centri ortologici sono allineati?

si, dice che sono allineati su una retta perpendicolare all'asse prospettico dei due triangoli.

Ok, grazie!