Trovare tutte le soluzioni intere di
$ x^2 - y^2 = 2xyz $.
Oltre alle soluzioni banali (a, a, 0) e (0, 0, a) non sono riuscito a cavarci molto... per di più il libro non dà la soluzione. Se poteste aiutarmi ve ne sarei grato!
Problema dell'Engel
Problema dell'Engel
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
Grazie Francutio 
Non so come abbia fatto a non arrivarci 
Uhm... propongo un'altra soluzione.
Idea -1) Caso in cui tra x,y,z c'è uno 0... si risolve facilmente e si trovano le soluzioni.
Idea 0) Per x,y,z diversi da 0 la tesi equivale a trovare x,y per cui
$ $2xy|x^2-y^2 $
Idea 1) Coprimalità forzata.
Assumo x,y non siano coprimi e soddisfino. L'mcd è m... risulta che anche x/m;y/m soddisfa. Quindi d'ora in poi assumo siano coprimi, tutte le altre coppie si ottengono moltiplicando per una costante.
Idea 2) Trovare un facile assurdo
Se x,y soddisfano allora deve valere:
$ $x|x^2-y^2\Rightarrow x|y^2 $
Ma x,y sono coprimi, quindi deve valere x=1. Stesso ragionamento con y e si ottiene la soluzione (x,y)=1 da cui deriva la sfilza di soluzioni x=y con z=0 che avevamo gia visto in Idea -1).
Idea -1) Caso in cui tra x,y,z c'è uno 0... si risolve facilmente e si trovano le soluzioni.
Idea 0) Per x,y,z diversi da 0 la tesi equivale a trovare x,y per cui
$ $2xy|x^2-y^2 $
Idea 1) Coprimalità forzata.
Assumo x,y non siano coprimi e soddisfino. L'mcd è m... risulta che anche x/m;y/m soddisfa. Quindi d'ora in poi assumo siano coprimi, tutte le altre coppie si ottengono moltiplicando per una costante.
Idea 2) Trovare un facile assurdo
Se x,y soddisfano allora deve valere:
$ $x|x^2-y^2\Rightarrow x|y^2 $
Ma x,y sono coprimi, quindi deve valere x=1. Stesso ragionamento con y e si ottiene la soluzione (x,y)=1 da cui deriva la sfilza di soluzioni x=y con z=0 che avevamo gia visto in Idea -1).
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Salve a tutti,mi sono appena iscritto al forum anche se seguo da un pò le varie discussioni.Innanzitutto volevo fare i complimenti al forum che è davvero interessante e poi volevo fare la mia prima proposta(spero di una lunga seria 
) di risoluzione.
ho pensato si potrebbe semplicemente risolvere l'equazione,dopo aver portato tutto a sinistra,rispetto alla x ...mi esce
x=yz(1+o-radice di 2),quindi affinchè x sia intero è necessario che y=0 o z=0 o entrambi=0[/tex][/list]
) di risoluzione.ho pensato si potrebbe semplicemente risolvere l'equazione,dopo aver portato tutto a sinistra,rispetto alla x ...mi esce
x=yz(1+o-radice di 2),quindi affinchè x sia intero è necessario che y=0 o z=0 o entrambi=0[/tex][/list]
Non so chi mi abbia messo al mondo, nè che cosa sia il mondo, nè che cosa io stesso.
Sono in un'ignoranza spaventosa di tutto.
Non so che cosa siano il mio corpo, i miei sensi, la mia anima e questa stessa parte di me che pensa quel che dico,
che medita sopra di tutto e sopra se stessa, e non conosce sè meglio del resto.
Vedo quegli spaventosi spazi dell'universo, che mi rinchiudono;
(B.Pascal)
Sono in un'ignoranza spaventosa di tutto.
Non so che cosa siano il mio corpo, i miei sensi, la mia anima e questa stessa parte di me che pensa quel che dico,
che medita sopra di tutto e sopra se stessa, e non conosce sè meglio del resto.
Vedo quegli spaventosi spazi dell'universo, che mi rinchiudono;
(B.Pascal)
Re: Problema dell'Engel
$ (xy^{-1}-z)^2=z^2+1 $ assurdo in $ \mathbb{Z}^3 $ a meno che $ z=0 $.[]
The only goal of science is the honor of the human spirit.