x^4+3x^2y^2+9y^4=12^2006

[Cuboquadro]

Qualcuno mi darebbe una mano con questo quesito?!

"Determinare tutte le coppie (x, y) di numeri interi tali che:
x^4 + 3x^2 y^2 + 9y^4 = 12^2006"

Grazie.

[Spammowarrior]

$ x^4 + 3x^2 y^2 + 9y^4 = 12^ {2006} $

notiamo innanzitutto che è simmetrica rispetto a 0, quindi considero solo x e y positivi.
x deve essere divisibile per 3 (poichè abbiamo 3 addendi su 4 divisibili per 3)

$ x=3x' $

$ 81x'^4 + 27x'^2 y^2 + 9y^4 = 12^{2006} $
$ 9x'^4 + 3x'^2 y^2 + y^4 = 4^{2006}3^{2004} $

e di nuovo
$ y=3y' $
$ 9x'^4 + 27x'^2 y'^2 + 81y'^4 = 4^{2006}3^{2004} $
$ x'^4 + 3x'^2 y'^2 + 9y'^4 = 4^{2006}3^{2002} $

si può ripetere fino a ottenere

$ 9x^4 + 3x^2 y^2 + y^4 = 4^{2006} $

si nota innanzitutto che se x è pari, y è pari, e viceversa.
consideriamo il caso in cui sono entrambi dispari:
$ x=2k+1, y=2j+1 $

$ 9(16k^4 + 32k^3 + 24k^2 + 8k +1) + 3(4k^2 + 4k +1)(4j^2 + 4j + 1) + (16j^4 + 32j^3 + 24j^2 + 8j +1) = 4^{2006} $

eliminando la roba multipla di 4 a destra si ottiene

$ 9 + 3 + 1 $

che è assurdo, perchè dovrebbe dare un multiplo di 4.

quindi x e y sono pari:
$ x=2x', y=2y' $

$ 9\cdot 16 x'^4 + 3\cdot 16 x'^2 y'^2 + 16y'^4 = 4^{2006} $

si può a questo modo semplificare ricorsivamente ogni fattore 16 e ottenere

$ 9x^4 + 3x^2 y^2 + y^4 = 16 $

si nota che $ y \le 2 $ e si risolve facile a mano

y=0

$ 9x^4 = 16 $

impossibile
y=1

$ 9x^4 + 3x^2 = 15 $ che si vede essere impossibile sugli interi

y=2

$ 9x^4 + 12x^2 = 0 $

da cui ottengo la soluzione (0;2), che è un bel guaio perchè dovrei ricordarmi quanti fattori ho semplificato dall'inizio, nulla di incredibile ma comunque una scocciatura.
per evitarla prendo la x=0, che non varia se la moltiplico per qualcosa, e la sostituisco nella equazione originale e ottengo facilmente

$ y=\pm 2^{1003}3^{501} $

che sono le uniche due soluzioni.

[Cuboquadro]

Grazie mille, era un bel po' che mi ci scervellavo.... pare più semplice di come l'avevo immaginato, anche se qulche punto devo ancora capirlo per bene!
scusa, per caso sai se queste equazioni hanno un nome preciso e se c'è un modo x studiarle in generale?!
...perchè l'avevo interpretata come diofantea, ma si è rivelata un'interpretazione inutile perchè non ho trovato nessun modo per risolverla in due incognite:(

[Spammowarrior]

allora, il metodo standard quando ci sono un po' di coefficienti numerici è quello di tentare una discesa infinita (la strategia che ho adottato all'inizio, cioè di ragionare sulle divisibilità e dividere i vari coefficienti a ripetizione)

in questo caso puoi ottenere due cose:

-o dimostri che puoi andare avanti a dividere all'infinito, quindi ogni soluzione contiene infiniti fattori n (quelli che stai dividendo), e quindi contiene zeri.
-oppure ricadi, dopo un certo numero di semplificazioni, in un caso semplice da fare a mano (come in questo esercizio), da cui poi risali, con un po' di conti, alla soluzione iniziale (che contiene anche tutti i termini che hai semplificato)

inoltre per ragionare sulle divisibilità fa comodo conoscere qualche nozione base di aritmetica modulare (nulla di troppo difficile nè tecnico), che ho usato quando ho eliminato dall'equazione i multipli di 4 per guardare cosa mi rimaneva.

in altri casi si usa l'aritmetica modulare per dimostrare che l'equazione è impossibile sugli interi, oppure si fattorizza, si semplifica qualcosa e si dimostra sempre con l'aritmetica modulare che è impossibile salvo eccezioni.
questo in breve, non esiste una strategia standard che permette sempre di risolvere, a volte serve un po' di polso

quanto al nome non saprei, equazione in due incognite va bene in assenza di meglio

[Cuboquadro]

Perfetto, Grazie mille!