Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
ale.b
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da ale.b » 28 apr 2010, 19:46
Dimostrare che, se p è un numero primo, $ 7p+3^p-4 $ non è mai un quadrato perfetto
gismondo
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da gismondo » 29 apr 2010, 16:04
utilizzando il piccolo teorema di fermat e ricordandoci dei residui quadratici modulo 3 ottengo: $ 0+3-1=0,1 $ che è assurdo; inoltre p=3 abbiamo 44.
sbaglio?
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ale.b
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da ale.b » 29 apr 2010, 16:23
perchè dovrebbe essere $ 7p\equiv0 \mod 3 $?
ma_go
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da ma_go » 29 apr 2010, 16:24
rispetto a che modulo applichi il teorema di fermat?
gismondo
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da gismondo » 29 apr 2010, 16:25
perchè sono scemo
sorry!
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gismondo
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da gismondo » 29 apr 2010, 16:36
vediamo..allora modulo p:
$ 0+3-4=x^2 $ per il piccolo teorema di fermat...
dalla legge di reciprocità quadratica $ x^2=-1 $ ha soluzioni se e solo se p=4k+1...quindi
$ 7(4k+1)+3^{4k+1}-4=x^2 $
quindi modulo 4:$ 3(1)+3^1-0=0,1 $ che sembra assurdo
a-risbaglio?
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da ale.b » 29 apr 2010, 16:50
che cosa dice la legge di reciprocità quadratica?
gismondo
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da gismondo » 29 apr 2010, 16:58
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da ma_go » 29 apr 2010, 17:37
stavolta mi pare proprio che funzioni
pic88
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da pic88 » 29 apr 2010, 18:58
Senza invocare la reciprocita' quadratica, basta ragionare sull'ordine di x modulo p quando p divide x^2+1.
La reciprocita' quadratica e' difficile da dimostrare, che io sappia.
Gogo Livorno
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da Gogo Livorno » 29 apr 2010, 22:36
pic88 ha scritto: Senza invocare la reciprocita' quadratica, basta ragionare sull'ordine di x modulo p quando p divide x^2+1.
La reciprocita' quadratica e' difficile da dimostrare, che io sappia.
Tradotto in soluzione?
pic88
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da pic88 » 29 apr 2010, 22:40
Tradotto in soluzione hai
$ x^2\equiv -1 \pmod p $
quindi l'ordine di x modulo p e' 4. Ma l'ordine divide p-1.
Gogo Livorno
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da Gogo Livorno » 29 apr 2010, 22:46
pic88 ha scritto: Tradotto in soluzione hai
$ x^2\equiv -1 \pmod p $
quindi l'ordine di x modulo p e' 4. Ma l'ordine divide p-1.
Che divide p-1 lo dovrei sapere di mio o si deduce?
E da qui?
EDIT: mi sono andato un po' a cercare le proprietà dell'ordine
Ma... cosa intende gismondo quando mette 0,1 nelle congruenze?
pic88
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da pic88 » 30 apr 2010, 15:36
Intende che fa 0, oppure 1. Ma siccome fa 2 e' assurdo.
In ogni caso si, sono le proprieta' basilari dell'ordine.
Quello che io ho mostrato e' che se p| x^2+1 allora e' della forma 4k+1. Vale anche il viceversa ma non serviva in questo esercizio.
danielf
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da danielf » 30 apr 2010, 19:27
pic88 ha scritto: Intende che fa 0, oppure 1. Ma siccome fa 2 e' assurdo.
In ogni caso si, sono le proprieta' basilari dell'ordine.
Quello che io ho mostrato e' che se p| x^2+1 allora e' della forma 4k+1. Vale anche il viceversa ma non serviva in questo esercizio.
sinceramente non ho capito..
perchè l'rodine di x dovrebbe essere 4 e perchè si cade nell'assurdo?