-dimostrare che se$ b\sqrt2+c\sqrt3+a=0 $e a, b, c sono interi relativi
allora necessariamente a = b = c = 0.
-Determinare almeno una terna di numeri interi relativi non tutti nulli
a, b, c tale che $ b\sqrt2+c\sqrt8+a=0 $Dimostrare che ogni altra
terna a', b', c' con la stessa propriet`a `e un multiplo razionale della
precedente.
radici
-La tesi equivale dimostrare che non esistono $ a, b \in \mathbb Z : a \sqrt 2 + b \sqrt 3 \in \mathbb Z $. Supponiamo che esistano due di tali interi: possiamo allora riscrivere l'equazione come
$ a \sqrt 2+b \sqrt 3 =n $
$ 2a^2+3b^2+ab \sqrt 6 =n^2 $
ovvero $ ab \sqrt 6 \in \mathbb Z $, che è assurdo perché $ \sqrt 6 $ è irrazionale. L'unica possibilità è effettivamente la soluzione banale (0, 0, 0).
-L'equazione implica $ \sqrt 2 (b+2c) \in \mathbb Z $, ovvero l'unica possibilità per quanto detto prima è che la parentesi si annulli, cioè $ b=-2c $, che dà come soluzione più piccola $ a_0=0, b_0=2, c_0=-1 $ (oppure equivalentemente $ a_0=0, b_0=-2, c_0=1 $). Osserviamo che se $ (0, b_0, c_0) $ è soluzione, allora lo è anche $ (0, kb_0, kc_0) $: poiché sono tutte soluzioni, dimostriamo anche che sono le uniche. Se la terna $ (0, x, y) $ fosse soluzione, con $ x $ e $ y $ non multipli di $ b_0 $ e $ c_0 $, potremmo scrivere i due numeri $ x, y $ nelle forme $ eb_0+u, fc_0+v $ con $ u<b_0, v<c_0 $: $ eb_0, fc_0 $ sono soluzioni per quanto detto prima; ovvero, sottraendo le equazioni $ (eb_0+u) \sqrt 2 + (fc_0 +v)\sqrt 8 =0 $ e $ eb_0 \sqrt 2 + fc_0 \sqrt 8 =0 $, $ (0, u, v) $, deve essere soluzione, ma $ (a_0, b_0, c_0) $ è la soluzione più piccola e $ u<b_0, v<c_0 $, assurdo. Le terne $ (0, \pm 2t, \mp t) $ sono quindi tutte e sole le soluzioni dell'equazione.
$ a \sqrt 2+b \sqrt 3 =n $
$ 2a^2+3b^2+ab \sqrt 6 =n^2 $
ovvero $ ab \sqrt 6 \in \mathbb Z $, che è assurdo perché $ \sqrt 6 $ è irrazionale. L'unica possibilità è effettivamente la soluzione banale (0, 0, 0).
-L'equazione implica $ \sqrt 2 (b+2c) \in \mathbb Z $, ovvero l'unica possibilità per quanto detto prima è che la parentesi si annulli, cioè $ b=-2c $, che dà come soluzione più piccola $ a_0=0, b_0=2, c_0=-1 $ (oppure equivalentemente $ a_0=0, b_0=-2, c_0=1 $). Osserviamo che se $ (0, b_0, c_0) $ è soluzione, allora lo è anche $ (0, kb_0, kc_0) $: poiché sono tutte soluzioni, dimostriamo anche che sono le uniche. Se la terna $ (0, x, y) $ fosse soluzione, con $ x $ e $ y $ non multipli di $ b_0 $ e $ c_0 $, potremmo scrivere i due numeri $ x, y $ nelle forme $ eb_0+u, fc_0+v $ con $ u<b_0, v<c_0 $: $ eb_0, fc_0 $ sono soluzioni per quanto detto prima; ovvero, sottraendo le equazioni $ (eb_0+u) \sqrt 2 + (fc_0 +v)\sqrt 8 =0 $ e $ eb_0 \sqrt 2 + fc_0 \sqrt 8 =0 $, $ (0, u, v) $, deve essere soluzione, ma $ (a_0, b_0, c_0) $ è la soluzione più piccola e $ u<b_0, v<c_0 $, assurdo. Le terne $ (0, \pm 2t, \mp t) $ sono quindi tutte e sole le soluzioni dell'equazione.
Ultima modifica di <enigma> il 23 mag 2010, 09:40, modificato 1 volta in totale.
