Marco estrae 5 palline da un'urna contenente nove palline numerate da 1 a 9. Mettendo in fila queste 5 palline ottiene un numero di 5 cifre.
Marco considera tutti i $5!$ possibili numeri di 5 cifre ottenibili cambiando l'ordine delle palline, e li somma tra loro ottenendo un numero palindromo.
Quali palline ha estratto Marco?
Scozzare le cifre, carino.
Scozzare le cifre, carino.
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω
Re: Scozzare le cifre, carino.
Precisazione necessaria: il problema l'ho inventato io, e vi posso assicurare che esiste una soluzione (che io ho trovato a caso 
), e sarebbe figo se qualcuno riuscisse a dimostrarla....ma non assicuro che sia una cosa umana 
CORREGGO: esiste un modo abb veloce anche a mano ma non bellissimo (magari ne esiste uno più bello), comunque provateci! C'è più di una soluzione
), e sarebbe figo se qualcuno riuscisse a dimostrarla....ma non assicuro che sia una cosa umana CORREGGO: esiste un modo abb veloce anche a mano ma non bellissimo (magari ne esiste uno più bello), comunque provateci! C'è più di una soluzione
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω
Re: Scozzare le cifre, carino.
Anche a te vengono 12 soluzioni? Il mio ragionamento è un po' complicato e ci sono alcuni passaggi che non mi convincono, perciò mi farebbe comodo una conferma...
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)
Re: Scozzare le cifre, carino.
Vengono 12 anche a me! Posta pure il tuo ragionamento, dopo posto il mio (bruttissimo)spugna ha scritto:Anche a te vengono 12 soluzioni? Il mio ragionamento è un po' complicato e ci sono alcuni passaggi che non mi convincono, perciò mi farebbe comodo una conferma...
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω
Re: Scozzare le cifre, carino.
Chiamiamo $s$ la somma delle cinque cifre e $S$ la somma dei $120$ numeri: di questi, $24$ iniziano con una certa cifra, altri $24$ con un'altra, e così via, perciò sommando le decine di migliaia otteniamo $24s \cdot 10000$. Ripetendo il ragionamento con migliaia, centinaia, decine e unità, avremo $S=24s(10000+1000+...+1)=24s \cdot 11111$. Da $15 \le s \le 35$ si ricava $3999960 \le S \le 9333240$. In ogni caso $S$ è un numero di sette cifre, ed essendo palindromo può essere riscritto così:
$S=1000001a+100010b+10100c+1000d=11111(90a+9b+c)+11(a+b-c)+1000(d-c)$
Poiché $11111|S$ si ha $11111|11(a+b-c)+1000(d-c)$. Ma, ricordando che le variabili sono cifre, il valore minimo di quest'ultima espressione è $-9099$ e quello massimo è $9198$, per cui l'unico multiplo di $11111$ ottenibile è $0$. Ne consegue che $11|d-c$: di nuovo, l'unico valore possibile è $0$, ma allora si avrà $c=d \wedge a+b=c$. Possiamo inoltre osservare che da $24|S$ segue che:
-$a$ è pari e compreso fra $3$ e $9$;
-$b$ è pari se e solo se $4|a$;
-la somma delle cifre di $S$ è $5c$ e deve essere divisibile per $3$, da cui $3|c$.
Provando con i tre possibili valori di $a$ otteniamo $4266624$ e $6399936$: i corrispondenti valori di $s$ sono $16$ e $24$, che ci permettono di risalire alle cinque cifre iniziali:
$1,2,3,4,6$
$1,2,4,8,9$
$1,2,5,7,9$
$1,2,6,7,8$
$1,3,4,7,9$
$1,3,5,6,9$
$1,3,5,7,8$
$1,4,5,6,8$
$2,3,4,6,9$
$2,3,4,7,8$
$2,3,5,6,8$
$2,4,5,6,7$
$S=1000001a+100010b+10100c+1000d=11111(90a+9b+c)+11(a+b-c)+1000(d-c)$
Poiché $11111|S$ si ha $11111|11(a+b-c)+1000(d-c)$. Ma, ricordando che le variabili sono cifre, il valore minimo di quest'ultima espressione è $-9099$ e quello massimo è $9198$, per cui l'unico multiplo di $11111$ ottenibile è $0$. Ne consegue che $11|d-c$: di nuovo, l'unico valore possibile è $0$, ma allora si avrà $c=d \wedge a+b=c$. Possiamo inoltre osservare che da $24|S$ segue che:
-$a$ è pari e compreso fra $3$ e $9$;
-$b$ è pari se e solo se $4|a$;
-la somma delle cifre di $S$ è $5c$ e deve essere divisibile per $3$, da cui $3|c$.
Provando con i tre possibili valori di $a$ otteniamo $4266624$ e $6399936$: i corrispondenti valori di $s$ sono $16$ e $24$, che ci permettono di risalire alle cinque cifre iniziali:
$1,2,3,4,6$
$1,2,4,8,9$
$1,2,5,7,9$
$1,2,6,7,8$
$1,3,4,7,9$
$1,3,5,6,9$
$1,3,5,7,8$
$1,4,5,6,8$
$2,3,4,6,9$
$2,3,4,7,8$
$2,3,5,6,8$
$2,4,5,6,7$
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
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Re: Scozzare le cifre, carino.
Oh yeah! Dai, non era poi tanto brutto come metodo il tuo (il mio predeva 20 tentativi, quindi ... xD)
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω
Re: Scozzare le cifre, carino.
Lo era il primo che mi è venuto in mente, poi sono riuscito a migliorarlo intanto che aspettavo la tua rispostaLukasEta ha scritto:Oh yeah! Dai, non era poi tanto brutto come metodo il tuo (il mio predeva 20 tentativi, quindi ... xD)
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
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