Supponiamo che ci siano $ 100 $ posti a sedere in un salone per $ 100 $ studenti.
Tutti gli studenti, tranne uno, conoscono il proprio posto. Il primo studente (che è quello che non sa il suo posto) arriva al salone e si siede a caso da qualche parte. Poi altri entrano uno ad uno nel salone. Ogni studente che entra nel salone e trova il suo posto libero si siede lì, se trova il suo posto occupato si siede da qualche altra parte in modo casuale.
Trovare la probabilità che gli ultimi 2 studenti si siedano ai propri posti.
Bonus: generalizzare con $ n $ studenti e la probabiltà che si siedano al propio posto gli ultimi $ k $
Sedie e studenti
Sedie e studenti
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Sedie e studenti
Questo è il mio ragionamento ma torna qualcosa di strano.
Ragiono in generale. Chiamo $ x $ il primo studente, quello che non conosce il proprio posto.
Consideriamo i casi favorevoli:
i) Se $ x $ si siede al posto del $ n-k-1 $-esimo studente allora lo studente $ n-k-1 $ può sedersi o al posto di $ x $ o al posto di uno degli ultimi $ k $. Il caso favorevole si ha se $ n-k-1 $ si siede al posto di $ x $. Questo caso avviene con probabilità: $ p(E_{n-k-1})=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{k+1} $.
ii) Se $ x $ si siede al posto del $ n-k-2 $-esimo studente allora questo può sedersi (considerando i casi favorevoli) al posto di $ x $ o al posto di $ n-k-1 $. Se si siede al posto di $ n-k-1 $ allora per forza quest'ultimo deve sedersi al posto di $ x $.
$ p(E_{n-k-2})=\frac{1}{n}(\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+2}\cdot \frac{1}{k+1}) $.
iii) Per lo studente $ n-k-3 $, la probabilità $ p(E_{n-k-3})=\frac{1}{n}(\frac{1}{k+3}+\frac{1}{k+3}\cdot\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}\cdot\frac{1}{k+2}\cdot\frac{1}{k+1}) $.
Iteriamo il ragionamento sino allo studente numero $ 2 $.
Il primo studente se si mette al posto suo allora è tutto ok, questo si verifica con probabilità $ p(E_1)=\frac{1}{n} $.
Il problema è che non riesco a trovare una forma chiusa per la probabilità.
Ragiono in generale. Chiamo $ x $ il primo studente, quello che non conosce il proprio posto.
Consideriamo i casi favorevoli:
i) Se $ x $ si siede al posto del $ n-k-1 $-esimo studente allora lo studente $ n-k-1 $ può sedersi o al posto di $ x $ o al posto di uno degli ultimi $ k $. Il caso favorevole si ha se $ n-k-1 $ si siede al posto di $ x $. Questo caso avviene con probabilità: $ p(E_{n-k-1})=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{k+1} $.
ii) Se $ x $ si siede al posto del $ n-k-2 $-esimo studente allora questo può sedersi (considerando i casi favorevoli) al posto di $ x $ o al posto di $ n-k-1 $. Se si siede al posto di $ n-k-1 $ allora per forza quest'ultimo deve sedersi al posto di $ x $.
$ p(E_{n-k-2})=\frac{1}{n}(\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+2}\cdot \frac{1}{k+1}) $.
iii) Per lo studente $ n-k-3 $, la probabilità $ p(E_{n-k-3})=\frac{1}{n}(\frac{1}{k+3}+\frac{1}{k+3}\cdot\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}\cdot\frac{1}{k+2}\cdot\frac{1}{k+1}) $.
Iteriamo il ragionamento sino allo studente numero $ 2 $.
Il primo studente se si mette al posto suo allora è tutto ok, questo si verifica con probabilità $ p(E_1)=\frac{1}{n} $.
Il problema è che non riesco a trovare una forma chiusa per la probabilità.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »