disuguaglianza e un sistema

[relue123]

Siano $ a, b > 0 $ essere reali tale che \[ a^3=a+1\\ b^6=b+3a \] .Mostrare che $ a>b $.

[Tess]

Ci sono modi migliori di dimostrarlo oltre a:
-stimare bene $a$ e $b$;
-fare un sacco di conti e buttare via tantissimo?

[dario2994]

Ci sono modi migliori di dimostrarlo oltre a:
-stimare bene $a$ e $b$;
-fare un sacco di conti e buttare via tantissimo?

Yeppa!!

[Tess]

Yeppa!!

Cosa dovrei capire?

[dario2994]

Intendevo: sì, esiste una soluzione bella e pulita.

[auron95]

$a^3=a+1$ (*)
$b^6=b+3a$ (**)

Prendiamo (*)$^2-$(**) e otteniamo

$a^6-b^6=(a+1)^2-b-3a=a^2-a+1-b =a(a-1)-(b-1)$

Ma d'altra parte $a^3=a+1>1\Rightarrow a>1$. Quindi $a(a-1)>a-1$ grazie anche al fatto che $a-1>0$.
Otteniamo quindi

$a^6-b^6=a(a-1)-(b-1)>a-1-(b-1)=a-b$
$a^6-a>b^6-b$

Allo stesso modo possiamo anche vedere $b^6=3a+b>b\Rightarrow b>1$
Il polinomio $p(x)=x^6-x=x(x^5-1)$ è crescente nell'intervallo $(1;+\infty)$, perchè prodotto di due polinomi crescenti e sempre positivi, quindi siccome sappiamo che $p(a)>p(b)$, allora segue che $a>b$.

[Troleito br00tal]

$a+1>1$

? $a$ può anche essere negativo...

[Triarii]

Non nelle ipotesi

[Troleito br00tal]

Giusto

[relue123]

Bella soluzione ma voglio vedere se qualcuno ne posta di piú belle magari sfruttando le disuguaglianze con le medie