E fin qui ci siamo: se $\exists k_0$ naturale tale che $\forall\ x\in\mathbb{R}$, $\forall\ k>k_0$ naturale si ha $f^{(k)}(x)=0$, allora $f$ è un polinomio.maurizio43 ha scritto: 4-Se abbandoniamo l’ipotesi < può variare al variare di $ x $ > e imponiamo <per ogni $ x $ > La risposta è sì.
Ecco, vedi, questo è il problema col tuo modo di esprimerti (matematicamente parlando): i polinomi vanno bene, perché "senza cavilli" non vuol dire niente, in matematichese. La differenza tra può e deve son convinto ti sia chiara nella lingua italiana, è per questo che ho tradotto l'ipotesi matematica con questi termini, di modo che ti potesse essere più chiaro qual era il problema con quello che affermavi. Quindi, la condizione che scrive Simo è la seguentemaurizio43 ha scritto: 5-Se imponiamo senza cavilli l’ ipotesi <può variare al variare di $ x $> (cioè in qualche caso varia, sennò stiamo inutilmente riconsiderando il caso precedente ),
la risposta è no .
$\forall x\in\mathbb{R}\ \exists k_0\in\mathbb{N}$ tale che $\forall k>k_0$ $f^{(k)}(x)=0$.
E questa è soddisfatta dai polinomi. Solo da loro? E' la domanda.
Purtroppo questa lana caprina è la base della matematica (differenza tre esiste e per ogni, importanza dell'ordine dei quantificatori, cosa vuol dire può e deve, ...) e la principale fonte di errori. Detto questo, né io né fph ti abbiamo ancora risposto sul fatto che esistano altre $f$ del genere perché non siamo noi a dover risolvere gli esercizi, ma gli utenti del forum .Comunque mi sembra che stiamo discutendo su questioni di lana caprina.
Più interessanti , per me, sarebbero lumi per sapere se c’è ( e come è fatta) una $ f $ non polinomiale che soddisfi il problema.