OliForum Matematico

Own. Dimostrare che
\[x^2+y^2+z^2+w^2 = 4(xz+yw) \]
non ha soluzioni per \(x,y,z,w \in \mathbb{Z}\setminus \{0\} \).

Bonus: dedurne, come caso particolare, il punto 1 di viewtopic.php?f=15&t=18603.

Direi che una soluzione ce l'ha..

se intendevi \( (0,0,0,0) \) ho corretto altrimenti scrivila, che cerco di capire cosa sbaglio nella dimostrazione! Grazie

Sono stordito io, o è veramente banale?
Intanto possiamo dire che WLOG $\gcd (x, y, z, w)=1 $
Poi guardiamo mod 4: allora sono o tutti e 4 pari -impossibile per il wlog di sopra-, oppure sono tutti dispari;
Andiamo ora mod 8: a sinistra abbiamo un bel 4, a destra abbiamo un 4 che moltiplica roba pari (d*d+d*d=p), ovvero un bello 0.
Fine.

Drago96 ha scritto: Intanto possiamo dire che WLOG $\gcd (x, y, z, w)=1 $

Scusa ma perchè?

Perchè allora potresti raccogliere un $d^2$ (qui $d$ è il massimo comun divisore delle 4 variabili) sia a sinistra che a destra, semplificandoli poi ritorni ad una equazione identica a quella iniziale. Per semplicità quindi puoi assumere sono coprimi. Osservazione: se lui avesse trovato una soluzione $(m,n,l,t)$ allora sarebbe stata soluzione pure $(dm,dn,dl,dt)$ con $d\in \mathbb Z$. Visto che però non ci sono, non si pone la questione

@Drago96: Si, è esageratamente semplice (anche io ci sono rimasto), ma se uno pone come vincolo aggiuntivo \(x^2+y^2 = z^2+w^2\) si può dimostrare il punto 1 del post linkato in un attimo (anche se come si può rinunciare a usare Pick ? Addirittura avevo letto che in alcuni paesi è illegale non usarlo quando si può)