51. Circonferenze un pochino blu

[NoAnni]

Vogliamo colorare di blu alcuni punti del piano.

a) È possibile farlo in modo che ogni circonferenza di raggio 1 abbia esattamente un punto blu?
b) È possibile farlo in modo che ogni circonferenza di raggio 1 abbia esattamente due punti blu?

[xXStephXx]

Vediamo se ho capito:

a) No. Prendo una circonferenza con un punto blu, traccio la circonferenza avente quel punto blu come centro. Essa avrà un altro punto blu. Ma quei due punti blu hanno distanza $1$, quindi possono prendere una circonferenza che li contiene entrambi e avrà $2$ punti blu.

b) Si, basta colorare il piano a strisce parallele di distanza $2$. Ogni circonferenza interseca o una sola striscia in due punti, oppure due strisce diverse in un punto ciascuna.

[NoAnni]

OK è giusto. Il problema era stupidissimo, ma al momento non ho niente di meglio da proporre che non sia troppo noto di combinatoria

[Hawk]

Io questi problemi non li capisco mai.

traccio la circonferenza avente quel punto blu come centro. Essa avrà un altro punto blu.

Perché deve averne un altro?

Si, basta colorare il piano a strisce parallele di distanza 2.

E se prendo le circonferenze secanti alla striscia? Non contengono infiniti punti?

[matpro98]

Si, basta colorare il piano a strisce parallele di distanza 2.

E se prendo le circonferenze secanti alla striscia? Non contengono infiniti punti?

Perché infiniti?

[Hawk]

I punti che stanno nella circonferenza sono infiniti no?

E per la mia domanda del punto a?

[NoAnni]

Io questi problemi non li capisco mai.

traccio la circonferenza avente quel punto blu come centro. Essa avrà un altro punto blu.

Perché deve averne un altro?

Sta ragionando per assurdo: dato che su ogni circonferenza c'è esattamente un punto blu, allora in particolare anche quella di centro un punto blu ha un punto blu su di essa.

Si, basta colorare il piano a strisce parallele di distanza 2.

E se prendo le circonferenze secanti alla striscia? Non contengono infiniti punti?

Solo due punti blu: quelli dove interseca la retta.

[Hawk]

Aaaah, avevo capito che i punti dovevano stare nel cerchio e non solo sulla circonferenza!!
Grazie mille, adesso ho tutto chiaro!!