Problema finale gara a squadre 2014

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
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Aschie4589
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Problema finale gara a squadre 2014

Messaggio da Aschie4589 »

Allora, ecco qui un interessante problema dalla gara a squadre, mi sembra il numero 3. Non ho il testo esatto, ma le indicazioni chiave si.

Si vuole fare una collana composta da 17 pietre scelte in qualche modo tra rubini e smeraldi. Sapendo che le collane possono essere ruotate sia nel piano (quindi una disposizione tipo$ RRRRRRRRRRRRRRRRS $ sarebbe uguale a $ SRRRRRRRRRRRRRRRR $) che nello spazio, determinare il numero di possibili collane diverse che si possono formare.
matpro98
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Re: Problema finale gara a squadre 2014

Messaggio da matpro98 »

La mia risposta era sbagliata, ma vorrei sapere cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento... io ho considerato tutte le pietre uguali all'inizio, poi, con i coefficienti binomiali, trovavo i modi di "cambiare stato a 1, 2, ..., 17 pietre e dividendo per 17 (le rotazioni, ovviamente le due configurazioni con le pietre uguali non le ho divise, essendo uguali a 1)
fph
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Re: Problema finale gara a squadre 2014

Messaggio da fph »

La somma con i binomiali non dovrebbe fare $2^{17}$? Quindi in pratica hai fatto $\frac{2^{17}-2}{17}$. Questa idea (contare i modi di preparare collane a meno di rotazioni) è un modo classico, elegante anche se molto indiretto, di dimostrare il piccolo teorema di Fermat (nota la stessa idea funziona per tutti i valori di $p=17$ primi e $a=2$...). In questo esercizio invece si chiede di considerare anche le rotazioni nello spazio, cioè le simmetrie nel piano: quindi alcune collane che tu conti due volte vengono mandate l'una nell'altra con una simmetria e andrebbero contate una volta sola.
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matpro98
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Re: Problema finale gara a squadre 2014

Messaggio da matpro98 »

Tipo se in una disposizione ho, in ordine, $RSRR$ e in un altra $RRSR$ allora sono uguali?
Aschie4589
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Re: Problema finale gara a squadre 2014

Messaggio da Aschie4589 »

Esatto, ma anche $ RRSSSRS $ e $ SRSSSRR $
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