Strategia vincente gara

[BorisM]

In un gran premio ogni auto deve percorrere 120 giri di pista. Si sa che la capacità del serbetaio è tale da permettere all' auto di completare la gara senza alcun pit stop, che per ogni pit stop si impiegano 30 secondi, che il tempo di percorrenza aumenta di 3 centesimi di secondo per ogni litro in più di benzina presente nel serbatoio all' inizio del giro e che per completare un giro sono necessari 3 kg di carburante. Supposto il consumo dell' auto costante si determini la strategia per permettere di terminare la gara nel minor tempo possibile.

Avevo iniziato a risolverlo ma alla fine mi sono bloccato...
Avevo seguito questo procedimento:
Detto $n$ il numero dei giri da fare prima di fermarsi ai box l' auto avrà all inizio del primo giro un numero di litri nel serbatoio pari a $3n$.
Detto $t=0,03s$ avremmo, per completare gli $n$ giri, un tempo aggiuntivo pari a $3cn+3c(n-1)+3c(n-2)...3(n-(n-1))=3c(n+n-1+n-2...+n-(n-1))=3cn(\frac{n+1}{2})$
Inoltre per ogni pit stop impiegheremo un tempo aggiuntivo $p=30s$. Per il totale dei pit stop sarà quindi questo tempo pari a $p(\frac{120}{n}-1)$
Avrei quindi costruito una sorta di funzione $f(n)=3cn(\frac{n+1}{2})+p(\frac{120}{n}-1)$
Quindi ho cercato di trovare gli 0 della derivata ma con scarsi risultati...
Penso comunque di aver sbagliato qualcosa nel procedimento e che comunque questo non sia proprio il metodo migliore per la risoluzione di questo quesito.
Potreste darmi qualche dritta?

[Gottinger95]

Io ho ragionato piú o meno così: supponi che l'auto si fermi al pit stop l'\(i\)-esima volta dopo \(a_i\) giri. Diciamo si ferma quindi dopo \(a_1, ..., a_k\) giri; la soma fa \(n_g\) (nel nostro caso 120). Riesci q dire il tempo totale in funzione della sequenza e di \(t_b, b_g,t_p, n_g\), rispettivamente il tempo in piú al giro per kg di benzina, le benzina necess.per un giro, il tempo del pit stop, il numero di giri totali?
Riesco afesso a minorare questa roba con la disuguaglianza di convessità sbarazzandomi della dipendenza dagli \(a_i\)? Per carità, il mondo non è perfetto, tantomeno quello discreto.

[BorisM]

Io ho ragionato piú o meno così: supponi che l'auto si fermi al pit stop l'\(i\)-esima volta dopo \(a_i\) giri. Diciamo si ferma quindi dopo \(a_1, ..., a_k\) giri; la soma fa \(n_g\) (nel nostro caso 120). Riesci q dire il tempo totale in funzione della sequenza e di \(t_b, b_g,t_p, n_g\), rispettivamente il tempo in piú al giro per kg di benzina, le benzina necess.per un giro, il tempo del pit stop, il numero di giri totali?
Riesco afesso a minorare questa roba con la disuguaglianza di convessità sbarazzandomi della dipendenza dagli \(a_i\)? Per carità, il mondo non è perfetto, tantomeno quello discreto.

Sinceramente non ho mai usato la disugualianza di convessità anche se avevo letto qualcosa al riguardo. Per usarla devo esprimere \(t_b, b_g,t_p, n_g\) tutto in \(a_i\) ?

[Drago96]

No, quelli che gottinger ha chiamato con le lettere sono i dati che hai già xD ovvero $t_b=0.03, b_g=3,t_p=30,n_g=120 $
Ora, tu ragiona un $ a_i $ per volta: devi fare un tot di giri e devi vedere quanto ci impieghi; ovvero, costruisci una funzione $ f (x) $ che ti calcoli quanto tempo ci metti a fare $ x $ giri se parti con la benzina necessaria a fare questi $ x $ giri, che forse è quella che hai scritto, o cose simili... poi speri che sia convessa (se il collega sopra dice di usare convessità, mi fido) e quindi puoi dire $f (a_1)+\dots+f (a_n)\ge nf (\frac {a_1+\dots+a_n}{n}) $. A questo punto tu sai che la somma degli $ a_i $ è 120, quindi conosci quella funzione e la minimizzi ancora in funzione di $ n$...
I conti non li ho fatti, quindi potrei non aver centrato quello che indendeva gottinger... la sua affermazione sul discreto mi spinge ad avvertirti: la disuguaglianza di convessità ammette casi di uguaglianza in R, ma non è detto che li abbia in N; quindi devi tipo "sporcarti" un po' le mani per cercare il minimo vero e non quello che ti dà Jensen... (del tipo, magari viene che il minimo è con gli $a_i $ tutti uguali, ma $ n=7$, vedi che c'è qualcosa che non va...)
Ah, poi stiamo anche assumendo che conviene fare: arrivo a 0 carburante e poi pit stop, e così via... se no potrebbbe anche essere che si ferma con il serbatoio ancora mezzo pieno...

[Troleito br00tal]

Scusate se mi intrometto, ma c'è più sporcizia in questo posto che dentro le ascelle di Chuck Schuldiner.

Regards

Troleito

[Kfp]

Scusate se mi intrometto, ma c'è più sporcizia in questo posto che dentro le ascelle di Chuck Schuldiner.

Regards

Troleito

Dio bono, vai giù pesante

[Chuck Schuldiner]

Scusate se mi intrometto, ma c'è più sporcizia in questo posto che dentro le ascelle di Chuck Schuldiner.

Regards

Troleito

<3
potevi dire c'è più sporcizia qui che negli assoli di kirk hammett

[Gottinger95]

@Troileto: vedi, quando sei costretto a studiare fisica, ti convinci che tuffarti nelle cose più sporche sia entusiasmante.
@Draco: confermo, e in realtà i conti non sono nemmeno così brutti!

[Draco76]

il tempo di percorrenza aumenta di 3 centesimi di secondo per ogni litro in più di benzina presente nel serbatoio all' inizio del giro e che per completare un giro sono necessari 3 kg di carburante.

Se vogliamo essere ancora piu sporchi bisogna inserire nei calcoli la densità della benzina per convertire kg in litri

[Gottinger95]

Dai a sto point rispondo
Oss. 1: per fare \(m\) giri, dobbiamo caricarci \(m b_g\) kg di benzina. Per fare l'\(i\)-esimo giro, avremo \( (m+1-i)b_g\) kg di benzina a bordo, per un tempo di \( (m+1-i) b_g t_b\) in più. Sommando per tutti gli \(i\) da \(1\) a \(m\) abbiamo
\[ T(m) = \sum_{i=1}^m (m+1-i) b_g t_b = b_g t_b \sum_{i=1}^m i = b_g t_b \binom{m+1}{2}\]
Oss. 2: Siano \( (a_1, \ldots, a_k)\) dei numeri \(\in \mathbb{N}\) tali che \(a_1 + \ldots + a_k = n_g\). Per l'osservazione 1, se facciamo i pit-stop dopo \(a_1\) giri, poi dopo \(a_2\) giri, e così via, il tempo \(T\) totale è
\[ T = \sum_{i=1}^k T(a_i) + (k-1)t_p = b_g t_b\sum_{i=1}^k \binom{a_i+1}{2} + (k-1)t_p \ \ \ (A) \]

Adesso vogliamo trovare il minimo \(T\), e quando ci sono dei binomiali siamo contenti. Infatti \( f(x) = \binom{x}{k}\) è convessa (è tipo un polinomio con coefficiente di testa positivo), e dunque vale, per convessità su \( f(x) = \frac{x(x+1)}{2}\) (vedi il post di drago se non è chiaro cosa sto usando):
\[ T = b_g t_b\sum_{i=1}^k \binom{a_i+1}{2} + (k-1)t_p \ge b_g t_b k \frac{n_g}{k} \left ( \frac{n_g}{k} +1 \right ) + (k-1)t_p = b_g t_b n_g \left ( \frac{n_g}{k} +1 \right ) + (k-1)t_p = \frac{b_g t_bn_g^2}{k} + t_p k + \gamma \ \ \ (B) \]
dove \(\gamma\) è il termine noto. Per capire qual'è il massimo, imponiamo che la derivata sia uguale a 0:
\[ - \frac{b_gt_bn_g^2}{k^2} + t_p = 0 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ k = n_g \sqrt{ \frac{b_g t_b}{t_p} } \]
che inserendo i dati risulta circa \(6.6\). Visto che però a noi interessano solo \(k\) interi, dobbiamo confrontare i casi \(k=6,7\).

Conclusione mala.
1.Con \(k=6\), si può realizzare il caso di uguaglianza, in cui \(a_i= n_g/k = 120/6 = 20\) per ogni \(i\). Perciò per \(k=6\) abbiamo esattamente la \((B)\) calcolata in \(k=6\), ossia \(396\).
2. Con \(k=7\), riusciamo quasi a raggiungere l'uguaglianza con 6 volte \(17\) e un \(18\). Quindi la \( (A)\) diventa:
\[ T = 6 T(17)+ T(18) + 6\cdot 30 = 3 \cdot 0.03 \cdot ( 6 \cdot \binom{18}{2} + \binom{19}{2} ) + 180 = \boxed{278.01} \]
che vince malamente su \(396\). E niente, abbiamo finito.