Salve ragazzi. Volevo proporvi questo quesito dato al test di ammissione della SNS (spero vi piaccia )
Siano
$ \alpha, \beta, \gamma, x, y, z $
dei numeri reali tali che
$ \alpha z - 2\beta y + \gamma x =0 $
$ \alpha \gamma - \beta^{2} >0 $
Ho trovato la soluzione rocambolescamente
Dimostrare che allora si ha che
$ x z - y^{2} \leq 0 $
Disuguaglianza sui reali SNS
Disuguaglianza sui reali SNS
"E non sai pure che sebbene essi facciano anche uso delle forme visibili e vi ragionino intorno, non è ad esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano... essi cercano in realtà di afferrare le cose estesse, che possono essere viste soltanto con gli occhi della mente"
$ 1 + \frac {1}{2^{2}} + \frac {1}{3^{2}} + . . . = \frac {\pi^{2}}{6} $
$ 1 + \frac {1}{2^{2}} + \frac {1}{3^{2}} + . . . = \frac {\pi^{2}}{6} $
Re: Disuguaglianza sui reali SNS
…provo così:
Osservazione (1): $\alpha ,\gamma \ne 0$ per condizione data.
Osservazione (2): se $x=0\vee z=0$ la disuguaglianza è vera, indipendentemente dai valori di $y,\beta $.
Osservazione (3): per Osservazione (2), si può assumere che $x\ne 0\wedge z\ne 0$ ; fissati $\alpha ,\beta ,\gamma $ e per condizione $\alpha z-2\beta y+\gamma x=0$, possiamo anche WLOG porre $z=1$.
Analogamente, dati $z,y,x$ per condizione $\alpha z-2\beta y+\gamma x=0$ e Osservazione (1), possiamo anche WLOG porre $\alpha =1$.
Fatto ciò, Ipotesi e Tesi diventano, rispettivamente, $1+\gamma x=2\beta y\ ,\ \gamma -{{\beta }^{2}}>0$ e $x-{{y}^{2}}\le 0$.
Facendo le opportune sostituzioni otteniamo $x-{{y}^{2}}=\frac{2\beta y-1}{\gamma }-{{y}^{2}}=\frac{-\gamma {{y}^{2}}+2\beta y-1}{\gamma }<0$, per ipotesi $\gamma -{{\beta }^{2}}>0$.
Ci sarà errore ma comunque...
Osservazione (1): $\alpha ,\gamma \ne 0$ per condizione data.
Osservazione (2): se $x=0\vee z=0$ la disuguaglianza è vera, indipendentemente dai valori di $y,\beta $.
Osservazione (3): per Osservazione (2), si può assumere che $x\ne 0\wedge z\ne 0$ ; fissati $\alpha ,\beta ,\gamma $ e per condizione $\alpha z-2\beta y+\gamma x=0$, possiamo anche WLOG porre $z=1$.
Analogamente, dati $z,y,x$ per condizione $\alpha z-2\beta y+\gamma x=0$ e Osservazione (1), possiamo anche WLOG porre $\alpha =1$.
Fatto ciò, Ipotesi e Tesi diventano, rispettivamente, $1+\gamma x=2\beta y\ ,\ \gamma -{{\beta }^{2}}>0$ e $x-{{y}^{2}}\le 0$.
Facendo le opportune sostituzioni otteniamo $x-{{y}^{2}}=\frac{2\beta y-1}{\gamma }-{{y}^{2}}=\frac{-\gamma {{y}^{2}}+2\beta y-1}{\gamma }<0$, per ipotesi $\gamma -{{\beta }^{2}}>0$.
Ci sarà errore ma comunque...
Re: Disuguaglianza sui reali SNS
Non ho capito perché $ \alpha = 1 $ $ z = 1 $
"E non sai pure che sebbene essi facciano anche uso delle forme visibili e vi ragionino intorno, non è ad esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano... essi cercano in realtà di afferrare le cose estesse, che possono essere viste soltanto con gli occhi della mente"
$ 1 + \frac {1}{2^{2}} + \frac {1}{3^{2}} + . . . = \frac {\pi^{2}}{6} $
$ 1 + \frac {1}{2^{2}} + \frac {1}{3^{2}} + . . . = \frac {\pi^{2}}{6} $
Re: Disuguaglianza sui reali SNS
Se $\alpha z-2\beta y+\gamma x=0$ allora fissati $\alpha ,\beta ,\gamma $ si ha che anche la terna $\left( kx,ky,kz \right)\ k\ne 0$ soddisfa la stessa relazione. E viceversa, fissati $x,y,z$ si ha che anche la terna $\left( L\alpha ,L\beta ,L\gamma \right)\ L\ne 0$ soddisfa la stessa relazione.
Allora potrei scegliere $k=\frac{1}{z},z\ne 0$ oppure $k=\frac{1}{x},x\ne 0$ per la terna $\left( kx,ky,kz \right)\ k\ne 0$.
E potrei scegliere $L=\frac{1}{\alpha },\alpha \ne 0$ oppure $L=\frac{1}{\gamma },\gamma \ne 0$ per la terna $\left( L\alpha ,L\beta ,L\gamma \right)\ L\ne 0$.
Non so se é giusto fare così ehh .. spero
Allora potrei scegliere $k=\frac{1}{z},z\ne 0$ oppure $k=\frac{1}{x},x\ne 0$ per la terna $\left( kx,ky,kz \right)\ k\ne 0$.
E potrei scegliere $L=\frac{1}{\alpha },\alpha \ne 0$ oppure $L=\frac{1}{\gamma },\gamma \ne 0$ per la terna $\left( L\alpha ,L\beta ,L\gamma \right)\ L\ne 0$.
Non so se é giusto fare così ehh .. spero
Re: Disuguaglianza sui reali SNS
Spostiamo il termine negativo della nostra equazione al RHS e quadriamo da entrambe le parti, ottenendo
$$(\alpha z+\gamma x)^2=(2\beta y)^2\Rightarrow \alpha^2 z^2+\gamma^2 x^2+2\alpha\gamma xz=4\beta^2 y^2$$
Ora, visto che $(\alpha z-\gamma x)^2\geq 0\Rightarrow \alpha^2 z^2+\gamma^2 x^2\geq 2\alpha\gamma xz$, si ha che vale
$$4\alpha\gamma xz\leq \alpha^2 z^2+\gamma^2 x^2+2\alpha\gamma xz= 4\beta^2y^2\Rightarrow \alpha\gamma xz\leq \beta^2y^2 $$
Adesso, poiché $\alpha\gamma>\beta^2\geq 0$, è positivo, posso dividere per $\alpha\gamma$ senza cambiare verso alla disuguaglianza
$$xz\leq \frac{\beta^2y^2}{\alpha\gamma}$$
Ma il RHS è a sua volta minore od uguale a $y^2$ perché $0\leq\frac{\beta^2}{\alpha\gamma}<1$ (è sempre la disuguaglianza sulle nostre lettere greche), e quindi la tesi è dimostrata.
@Euler271: potresti aggiungere numero del problema ed anno nel titolo? Così magari (se non è già presente) si può mettere più facilmente nella raccolta sul forum dei vecchi problemi SNS
$$(\alpha z+\gamma x)^2=(2\beta y)^2\Rightarrow \alpha^2 z^2+\gamma^2 x^2+2\alpha\gamma xz=4\beta^2 y^2$$
Ora, visto che $(\alpha z-\gamma x)^2\geq 0\Rightarrow \alpha^2 z^2+\gamma^2 x^2\geq 2\alpha\gamma xz$, si ha che vale
$$4\alpha\gamma xz\leq \alpha^2 z^2+\gamma^2 x^2+2\alpha\gamma xz= 4\beta^2y^2\Rightarrow \alpha\gamma xz\leq \beta^2y^2 $$
Adesso, poiché $\alpha\gamma>\beta^2\geq 0$, è positivo, posso dividere per $\alpha\gamma$ senza cambiare verso alla disuguaglianza
$$xz\leq \frac{\beta^2y^2}{\alpha\gamma}$$
Ma il RHS è a sua volta minore od uguale a $y^2$ perché $0\leq\frac{\beta^2}{\alpha\gamma}<1$ (è sempre la disuguaglianza sulle nostre lettere greche), e quindi la tesi è dimostrata.
@Euler271: potresti aggiungere numero del problema ed anno nel titolo? Così magari (se non è già presente) si può mettere più facilmente nella raccolta sul forum dei vecchi problemi SNS
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
Re: Disuguaglianza sui reali SNS
..bravo Lasker..a quadrare non ci avevo pensato
Beh..dovessi mettere mano sul fuoco la metterei più su soluzione di Lasker che non sulla mia
Beh..dovessi mettere mano sul fuoco la metterei più su soluzione di Lasker che non sulla mia
Re: Disuguaglianza sui reali SNS
Lasker credo fosse il numero 4 degli anni 80 non ricordo di preciso
"E non sai pure che sebbene essi facciano anche uso delle forme visibili e vi ragionino intorno, non è ad esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano... essi cercano in realtà di afferrare le cose estesse, che possono essere viste soltanto con gli occhi della mente"
$ 1 + \frac {1}{2^{2}} + \frac {1}{3^{2}} + . . . = \frac {\pi^{2}}{6} $
$ 1 + \frac {1}{2^{2}} + \frac {1}{3^{2}} + . . . = \frac {\pi^{2}}{6} $
Re: Disuguaglianza sui reali SNS
Comunque ecco la mia soluzione si ha che $ \alpha \gamma > 0 $
Considero il seguente polinomio
$ P (T) = \alpha z T^{2} - 2 \beta y T + \gamma x $
Esso si annulla in $ T = 1 $
infatti $ P ( 1 ) = \alpha z - 2 \beta y + \gamma x = 0 $
Esso avrà anche un altra radice che non ci interessa quindi ha 2 radici reali e quindi:
$ \frac {\Delta} {4} = \beta^{2} y^{2} - \alpha \gamma x z \geq 0 $
Ora lavoro sulla disuguaglianza tra lettere greche che diventa
$ \alpha \gamma y^{2} \geq \beta^{2} y^{2} $ $ \Rightarrow $
$ \alpha \gamma y^{2} - \alpha \gamma x z \geq \beta^{2} y^{2} - \alpha \gamma x z \geq 0 $
Cioè $ \alpha \gamma y^{2} - \alpha \gamma x z \geq 0 $
E dividendo per $ - \alpha \gamma $
$ x z - y^{2} \leq 0 $
Considero il seguente polinomio
$ P (T) = \alpha z T^{2} - 2 \beta y T + \gamma x $
Esso si annulla in $ T = 1 $
infatti $ P ( 1 ) = \alpha z - 2 \beta y + \gamma x = 0 $
Esso avrà anche un altra radice che non ci interessa quindi ha 2 radici reali e quindi:
$ \frac {\Delta} {4} = \beta^{2} y^{2} - \alpha \gamma x z \geq 0 $
Ora lavoro sulla disuguaglianza tra lettere greche che diventa
$ \alpha \gamma y^{2} \geq \beta^{2} y^{2} $ $ \Rightarrow $
$ \alpha \gamma y^{2} - \alpha \gamma x z \geq \beta^{2} y^{2} - \alpha \gamma x z \geq 0 $
Cioè $ \alpha \gamma y^{2} - \alpha \gamma x z \geq 0 $
E dividendo per $ - \alpha \gamma $
$ x z - y^{2} \leq 0 $
"E non sai pure che sebbene essi facciano anche uso delle forme visibili e vi ragionino intorno, non è ad esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano... essi cercano in realtà di afferrare le cose estesse, che possono essere viste soltanto con gli occhi della mente"
$ 1 + \frac {1}{2^{2}} + \frac {1}{3^{2}} + . . . = \frac {\pi^{2}}{6} $
$ 1 + \frac {1}{2^{2}} + \frac {1}{3^{2}} + . . . = \frac {\pi^{2}}{6} $