A2 ammissione WC14
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Qualcuno potrebbe soccorrermi?
Determinare tutte le funzioni surgettive da $ (0,∞) $ in s tali che per ogni $ x>0 $
$ xf (x) + f (x)f (f (x)) = 2x f (f (x)) $
grazie in anticipo
Determinare tutte le funzioni surgettive da $ (0,∞) $ in s tali che per ogni $ x>0 $
$ xf (x) + f (x)f (f (x)) = 2x f (f (x)) $
grazie in anticipo
Ultima modifica di Nadal21 il 14 set 2015, 10:27, modificato 1 volta in totale.
Re: A2 ammissione WC14
Hai una sola variabile, e tante f... l'idea è di reiterare più volte il testo, cioè:
Parti da un qualsiasi $x $ e definisci la successione $a_0=x $ e $a_{n+1}=f (a_n) $
L'ipotesi ti permette di scriverti la legge ricorsiva da cui mi pare si riuscisse ad arrivare a una forma chiusa, e con un po' di lavoro si concludeva
Parti da un qualsiasi $x $ e definisci la successione $a_0=x $ e $a_{n+1}=f (a_n) $
L'ipotesi ti permette di scriverti la legge ricorsiva da cui mi pare si riuscisse ad arrivare a una forma chiusa, e con un po' di lavoro si concludeva
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Re: A2 ammissione WC14
Funzionava anche usare un po' di disuguaglianze, partendo dal fatto che f è a valori positivi.
"La vita è come uno specchio: ti sorride se la guardi sorridendo".
Re: A2 ammissione WC14
Grazie per i suggerimenti
Ho scritto in modo completo il testo dell'esercizio, appena posso provo a farlo e posto cosa riesco a tirare fuori.
Ho scritto in modo completo il testo dell'esercizio, appena posso provo a farlo e posto cosa riesco a tirare fuori.
Re: A2 ammissione WC14
Provo con le disuguaglianze (SBAGLIATA)
Testo nascosto:
Ultima modifica di Saro00 il 15 set 2015, 19:28, modificato 2 volte in totale.
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: A2 ammissione WC14
Non sono sicuro, ho letto molto velocemente la tua risposta ma... per passare da $f(f(x)) \ge f(x)$ a $f(x)\ge x$ ti basta l'ipotesi che sia surgettiva?
Provo con un controesempio ma... con $f(x)=1/x$ (che è surgettiva, vista da $\mathbb{R}_+$ in $\mathbb{R}_+$) dovresti avere che $f(f(x))\ge f(x)$, cioè $x^2\ge 1$, implica $f(x)\ge x$, cioè $x^2\le 1$. Ora magari mi sbaglierò ma non ne sono convinto.
E inoltre, tu dici "faccio la differenza tra la disuguaglianza di 2. e di 4." intendendo che da $A\ge B$ e $C\ge D$ passi a $C-A\ge D-B$... ma provando $A=7$, $B=4$, $C=2$ e $D=0$ (controesempio a caso) viene parecchio sbagliato (se non ho errato i conti).
Imho la dimostrazione non va bene, ma poi boh
EDIT: Comunque benvenuto sul forum! Ho visto ora che è il tuo primo messaggio!
Provo con un controesempio ma... con $f(x)=1/x$ (che è surgettiva, vista da $\mathbb{R}_+$ in $\mathbb{R}_+$) dovresti avere che $f(f(x))\ge f(x)$, cioè $x^2\ge 1$, implica $f(x)\ge x$, cioè $x^2\le 1$. Ora magari mi sbaglierò ma non ne sono convinto.
E inoltre, tu dici "faccio la differenza tra la disuguaglianza di 2. e di 4." intendendo che da $A\ge B$ e $C\ge D$ passi a $C-A\ge D-B$... ma provando $A=7$, $B=4$, $C=2$ e $D=0$ (controesempio a caso) viene parecchio sbagliato (se non ho errato i conti).
Imho la dimostrazione non va bene, ma poi boh
EDIT: Comunque benvenuto sul forum! Ho visto ora che è il tuo primo messaggio!
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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Re: A2 ammissione WC14
Hai perfettamente per tutte e due le cose. Domani provo a dimostrare la disuguaglianza che mi manca
P.S. Grazie per il benvenuto
P.S. Grazie per il benvenuto
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: A2 ammissione WC14
In realtà per la tua prima affermazione penso sia giusto quello che ho fatto io.
Infatti chiamo $ y=f(x) $, quindi ho che $ f(y)\ge y $ e sapendo che y varia tra tutti i numeri reali ho finito
Infatti chiamo $ y=f(x) $, quindi ho che $ f(y)\ge y $ e sapendo che y varia tra tutti i numeri reali ho finito
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: A2 ammissione WC14
Ah sì ok hai ragione è che il mio controesempio aveva un'ipotesi che non valeva per tutti gli $x$... infatti ne ero parecchio in dubbio grazie
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Re: A2 ammissione WC14
Dato che con le disuguaglianze non riesco provo senza . Spero sia giusta e aspetto la conferma
Testo nascosto:
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: A2 ammissione WC14
Qualcuno mi può dire se è giusta perché ne sono molto insicuro.
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: A2 ammissione WC14
Invoco nuovamente qualche pro del forum per controllarmi la soluzione
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: A2 ammissione WC14
Nessuno?
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Re: A2 ammissione WC14
Fino al punto 2 sono d'accordo.
Beh, l'unicità di $k$ in realtà mi sembra chiara, e non dipende dal fatto che $f$ sia iniettiva: hai definito $k$ come $k=f(f(x))$, per cui (fissato $x$) il povero $k$ è certamente unico.Saro00 ha scritto: $ 3. $ $ \forall x \exists! k $ un numero tale che $ f(f(x))=k $ e $ f(x)=\frac{2xk}{x+k} ( * ) $ e questo numero è $ x $
Da $ 1. $ ottengo che $ f(f(x))=k=\frac{xf(x)}{2x-f(x)} \iff xf(x)=2xk-f(x)k \iff f(x)=\frac{2xk}{x+k} $. E' da ricordare che $ k $ è unico perchè $ f $ è iniettiva.
Forse sono io che non capisco cosa tu stia facendo, ma non mi torna. Mi sembra che nel passaggio $\ast$ tu stia usando la formula $f(y)=\frac{2ky}{y+k}$ come se valesse per qualunque $y$ (in particolare per $\displaystyle y=\frac{2xk}{x+k}$), ma l'hai dimostrata solo per $y=x$. In altri termini: come giustamente hai detto al punto 3, $k$ dipende da $x$, cioè dall'argomento di $f(\cdot)$: ora la tua $f(\cdot)$ ha un nuovo argomento, quindi $k$ potrebbe essere cambiato...Saro00 ha scritto: Ora so che $ k=f(f(x))=f(\frac{2xk}{x+k}) \overset{\ast}{=} \frac{2\frac{2xk}{x+k}k}{\frac{2xk}{x+k}+k} \iff \frac {4xk^2}{3xk+k^2}=k \iff x=k $.
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
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Re: A2 ammissione WC14
Hai ragione, proprio per questo eromolto incerto. Mi potresti dare qualche suggerimento per farla?
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.