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L'equazione non ha soluzione. Dividiamo in casi. Se $z$ è dispari ho $1-2013 \equiv 1-5 \equiv -4 \equiv 4 \pmod 8$ quindi deve valere $$(x^2-1)(y^2-1) \equiv 4 \pmod 8$$I residui quadratici modulo $8$ sono $0,1,4$ quindi $x^2,y^2 \pmod 8 \in \{0,1,4\}$. Se uno dei due vale $1$ allora $(x^2-1)(y^2-1) \equiv 0 \pmod 8$ quindi analizziamo solo i casi in cui uno vale $0$ e l'altro $4$ oppure quando entrambi sono uguali a $0$ o a $4$. Se uno vale $0$ e l'altro $4$ ho $(x^2-1)(y^2-1) \equiv -3 \equiv 5 \not \equiv 4 \pmod 8$. Se entrambi sono uguali a $0$ abbiamo $(x^2-1)(y^2-1) \equiv 1 \not \equiv 4 \pmod 8$. Se invece entrambi sono uguali a $4$ abbiamo $(x^2-1)(y^2-1) \equiv 3^2 \equiv 1 \not \equiv 4 \pmod 8$ da cui si deduce l'inesistenza delle soluzioni. Se $z$ è pari allora ho $$-2013 \equiv 3 \equiv (x^2-1)(y^2-1) \pmod 4$$Ragionando analogamente a prima troviamo che $(x^2-1)(y^2-1)$ può essere congruo solo a $1$ e a $0 \pmod 4$ e quindi non esistono soluzioni neanche in questo caso.

Anche in questo caso l'equazione non ha soluzione. Abbiamo $$z^2-2012 = (x^2-1)(y^2-1)$$Se $(z,3)=1$ abbiamo $$-2011 \equiv 2 \equiv (x^2-1)(y^2-1) \pmod 3$$I possibili valori che possono assumere $x^2-1$ e $y^2-1$ modulo $3$ sono $-1,0$ e quindi basta poco per notare che non è possibile ottenere $2$, quindi $3 | z$. Ancora mod $3$ abbiamo $1 \equiv (x^2-1)(y^2-1) \pmod 3$ da cui si ricava $3 | x$ e $3 | y$. Pongo di conseguenza $z=3a$ , $x=3b$ e $y=3c$ ottenendo $$9a^2 - 2012 = (9b^2-1)(9c^2-1) \iff 9a^2-2012 = 81b^2c^2 - 9(c^2+b^2) + 1 \iff 9a^2 - 2013 = 81b^2c^2 - 9(c^2+b^2)$$ma quindi deve valere $4 \equiv 0 \pmod 9$ , assurdo.