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Consideriamo la somma $ \sum_{i=1}^{2n} x_i $ dove $ x_i $ vale $ 1 $ o $ -1 $ (rispettivamente destra e alto). Visto che, in ogni momento, i passi fatti verso destra devono essere maggiori o uguali a quelli verso l'alto, ci serve $ \sum_{i=1}^{0<k<2n} x_i \geq 0 $.

Il totale delle somme di questo tipo è $ \frac{2n!}{n!^2} $, proviamo a togliere quelle che non vanno bene: consideriamo una somma non valida, ci sarà un $ m $ minimo tale che la somma sarà minore di $ 0 $. Cambiamo segno ai primi $ m $ elementi e quella che ci ritorna è una somma valida. Il numero di queste somme è $ \frac{2n!}{(n-1)!(n+1)!} $, quindi il numero di somme accettabili è $ \frac{2n!}{n!^2} - \frac{2n!}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{2n!}{n!(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} $