Sia $A$ l'insieme dei punti $(x,y,z)$ nello spazio tridimensionale tutti con coordinate reali non negative, tali che l'equazione $xn^2+yn+z=2016$ abbia soluzioni reali nell'intervallo $\alpha \leq n \leq \beta$ per dei reali positivi $\alpha$ e $\beta$. Se $\beta-\alpha=16$ e $\alpha\beta=8$, qual è il volume di $A$?
Re: Algebra 3D à la Américain
Inviato: 10 ago 2017, 13:44
da Sirio
Se mi dici che è giusto allego la dimostrazione...
Si, è corretto. Si può fare in modo brutale con sostituzioni, o in modo più "carino" come suggerito dal titolo pensando a cosa significhi quella condizione in un piano 3D.
Re: Algebra 3D à la Américain
Inviato: 10 ago 2017, 20:05
da Sirio
Testo nascosto:
Anzitutto ho riconosciuto che si trattasse di un piano. O, meglio, di un triangolo, che ha per vertici le intersezioni del piano coi tre assi.
Sia $T_n$ il tetraedro che ha per base il suddetto triangolo e per vertice l'origine degli assi. Per... Debbo dire la verità, per pura intuizione ho visto che tutti i i triangoli al variare di $n$ tra $\alpha$ e $\beta$ stanno in $T_\alpha\setminus T_\beta$, ed essendo $\left|\left(\alpha;\beta\right)\right|=\aleph_1$ (alephdelirio!!!), si ha che il volume richiesto è proprio quello di $T_\alpha\setminus T_\beta$, che con sostituzioni e conti vari si ottiene essere uguale a quello che ho postato prima.
Anzitutto ho riconosciuto che si trattasse di un piano. O, meglio, di un triangolo, che ha per vertici le intersezioni del piano coi tre assi.
Sia $T_n$ il tetraedro che ha per base il suddetto triangolo e per vertice l'origine degli assi. Per... Debbo dire la verità, per pura intuizione ho visto che tutti i i triangoli al variare di $n$ tra $\alpha$ e $\beta$ stanno in $T_\alpha\setminus T_\beta$, ed essendo $\left|\left(\alpha;\beta\right)\right|=\aleph_1$ (alephdelirio!!!), si ha che il volume richiesto è proprio quello di $T_\alpha\setminus T_\beta$, che con sostituzioni e conti vari si ottiene essere uguale a quello che ho postato prima.
Non sarò stato completissimo, ma vabbè
Si, la soluzione è quella. Per giustificare la tua intuizione, basta che osservi che
Testo nascosto:
detta $n$ una qualunque soluzione che soddisfa l'intervallo richiesto, se $n=\beta$, l'equazione diventa $x\beta^2 +y\beta + z =2016$, e che se $n=\alpha$, l'equazione diventa $x\alpha^2 +y\alpha + z=2016$. Ma allora, poiché per ipotesi abbiamo $\alpha\leq\beta$, allora ha un senso il fatto che $T_{\alpha}$ contenga $T_{\beta}$ dovrebbe avere più senso, perché $T_{\alpha}$ ha vertici
$(0,0,0), (\frac{2016}{\alpha^2}, 0, 0), (0, \frac{2016}{\alpha}, 0),$ e $(0,0,2016)$, e $T_{\beta}$ ha vertici $(0,0,0), (\frac{2016}{\beta^2}, 0, 0), (0, \frac{2016}{\beta}, 0),$ e $(0,0,2016)$.