OliForum Matematico

Dimostrare che
\[\frac12+\frac13+\frac15+\ldots+\frac1p<10,\]
dove $p$ è il più grande primo minore di $2^{100}$.

Curioso, stavo cercando problemi sui primi e proprio poco fa mi sono imbattuto nello stesso problema, ma con $8$ al posto di $10$...

Ma infatti la stima è migliorabilissima. Mi pare che la migliore costante sia intorno a $7.6188$ (è $\sqrt[7]{3533040}-1$).

Come mi suggerisce Gerald Lambeau, con il teorema di Mertens (che non è l'attaccante del Napoli) si può ottenere che la somma a lhs è minore di
\[\ln \ln 2^{100}+0.27+\frac{4}{\ln (2^{100}+1)}+\frac{2}{2^{100}\ln(2^{100})}<4.57.\]
Ma la mia stima si raggiunge in modo completamente elementare

Rilancio: dimostrare che quella somma vale almeno $3.74$.