Quattro talpe si muovono di moto rettilineo uniforme. Le quattro traiettorie si incontrano a due a due, ma non esistono punti del piano in cui passano piu' di due traiettorie. Ci sono almeno cinque incontri tra talpe (ovvero due talpe che si trovano nello stesso punto allo stesso momento). E' possibile che ci siano esattamente cinque incontri tra talpe?
Re: Incontri su rette
Inviato: 24 feb 2018, 18:58
da pipotoninoster
Dunque, in combinatoria sono una frana, dunque sono dovuto ricorrere...
Testo nascosto:
...ai complessi
Testo nascosto:
Sia [math]z_i(t)=w_1t+a_i l'affissa della posizione dell' i-esima talpa ([math]i=1,2,3,4) al tempo [math]t, con [math]w_i e [math]a_i complessi con [math]w_i \ne w_j per [math]i\ne j. Allora le talpe [math]i e [math]j si incontrano se e solo se [math]\exists t \in \mathbb{R} : w_it+a_i=w_jt+a_j cioè se e solo se [math]\frac{a_i-a_j}{w_i-w_j} \in \mathbb{R} (1)
Ora, supponiamo che ci siano gli incontri tra le talpe 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 3-4.
Allora la (1) applicata a [math](1,2),(2,3),(3,1) implica che [math]a_1a_2a_3 \sim w_1w_2w_3. mentre la (1) applicata a [math](3,1),(3,4),(1,4) implica [math]a_3a_1a_4 \sim w_3w_1w_4, e dunque i quadrilateri [math]a_1a_2a_3a_4 e [math]w_1w_2w_3w_4 sono simili. In particolare sono simili [math]a_1a_2a_4 e [math]w_1w_2w_4 ed essendo [math]a_1a_2,
w_1w_2 parallele, [math]a_1a_4, w_1w_4 parallele allora anche [math]a_2a_4 parallelo a [math]w_2w_4 cioè la (1) vale anche per [math](i,j)=(2,4), cioè anche la coppia di talpe rimanente si incontra.
Mi aspettavo proprio qualcosa di matematicoso in questo stile. Se sei interessato a una soluzione piu' di fisica, leggi qua