Sistema quadratico

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Lasker
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Sistema quadratico

Messaggio da Lasker » 24 mag 2018, 00:40

Trovare tutte le terne di reali $(x,y,z)$ che soddisfano
$$ xy+yz+xz=x^2-2y^2=2y^2-3z^2=1 $$
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

spugna
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da spugna » 26 set 2018, 14:13

Osserviamo che se $(x,y,z)$ è una soluzione, lo è anche $(-x,-y,-z)$. La prima equazione ci dice che, a meno di cambiare i segni, le tre incognite sono le cotangenti degli angoli di un triangolo (dettagli nel testo nascosto)...

Testo nascosto:
Esistono sicuramente $\alpha,\beta \in (0,\pi)$ tali che $x=\cot(\alpha)$ e $y=\cot(\beta)$, e i valori opposti corrispondono a $\pi-\alpha$ e $\pi-\beta$, quindi possiamo supporre $\alpha+\beta<\pi$ (non può essere un'uguaglianza perché seguirebbe $x=-y$, e sostituendo nella prima equazione $x^2=-1$). Definiamo quindi $\gamma=\pi-\alpha-\beta$, e verifichiamo che $z=\cot(\gamma)$ risolve la prima equazione.
Abbiamo quindi $x=\cot(\alpha)$, $y=\cot(\beta)$ e $z=\cot(\gamma)$, e chiamiamo $a,b,c$ i lati di un qualsiasi triangolo avente questi tre angoli. Sostituendo nella seconda equazione troviamo:

$\cot^2(\alpha)+1=2\cot^2(\beta)+2 \Rightarrow \dfrac{1}{\sin^2(\alpha)}=\dfrac{2}{\sin^2(\beta)} \Rightarrow b=\sqrt{2}a$

dove l'ultimo passaggio segue dal teorema dei seni; analogamente, dalla terza equazione segue $c=\sqrt{\dfrac{3}{2}}b$, quindi possiamo prendere $(a,b,c)=(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$, da cui $(x,y,z)=\left( \sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$, che è l'unica soluzione insieme alla sua "opposta".
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

Michael Pasquini
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da Michael Pasquini » 02 ott 2018, 22:11

Non ho capito la cosa delle cotangenti, puoi spiegare?

spugna
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da spugna » 12 ott 2018, 22:33

Intendi la parte in cui dico che $\alpha,\beta$ e $\gamma$ sono gli angoli di un triangolo?
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Michael Pasquini
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da Michael Pasquini » 13 ott 2018, 13:23

Si

spugna
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da spugna » 13 ott 2018, 20:52

Allora, si era posto $x=\cot(\alpha)$ e $y=\cot(\beta)$ con $\alpha,\beta \in (0,\pi)$, e si era visto che definendo $\gamma=\pi-\alpha-\beta \in (-\pi,\pi)$ segue $z=\cot(\gamma)$ (che esiste perché $\gamma \neq 0$, altrimenti seguirebbe $\alpha+\beta=\pi$ e quindi $x=-y$, che però rende impossibile la prima equazione). Ora, se $\gamma>0$ ho tre angoli positivi con somma $\pi$, che quindi sono gli angoli di un triangolo; se invece $\gamma<0$, cioè $\alpha+\beta>\pi$, sostituisco $(x,y,z)$ con $(-x,-y,-z)$, che è ancora una soluzione del sistema, e i nuovi angoli sono $\alpha'=\pi-\alpha$, $\beta'=\pi-\beta$ e $\gamma'=\pi-(\pi-\alpha)-(\pi-\beta)=\alpha+\beta-\pi$, che come prima sono tutti positivi e con somma $\pi$.
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Michael Pasquini
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da Michael Pasquini » 14 ott 2018, 21:04

Grazie mille, credo di aver capito

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