Sistema quadratico

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Lasker
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Sistema quadratico

Messaggio da Lasker » 24 mag 2018, 00:40

Trovare tutte le terne di reali $(x,y,z)$ che soddisfano
$$ xy+yz+xz=x^2-2y^2=2y^2-3z^2=1 $$
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

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spugna
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da spugna » 26 set 2018, 14:13

Osserviamo che se $(x,y,z)$ è una soluzione, lo è anche $(-x,-y,-z)$. La prima equazione ci dice che, a meno di cambiare i segni, le tre incognite sono le cotangenti degli angoli di un triangolo (dettagli nel testo nascosto)...

Testo nascosto:
Esistono sicuramente $\alpha,\beta \in (0,\pi)$ tali che $x=\cot(\alpha)$ e $y=\cot(\beta)$, e i valori opposti corrispondono a $\pi-\alpha$ e $\pi-\beta$, quindi possiamo supporre $\alpha+\beta<\pi$ (non può essere un'uguaglianza perché seguirebbe $x=-y$, e sostituendo nella prima equazione $x^2=-1$). Definiamo quindi $\gamma=\pi-\alpha-\beta$, e verifichiamo che $z=\cot(\gamma)$ risolve la prima equazione.
Abbiamo quindi $x=\cot(\alpha)$, $y=\cot(\beta)$ e $z=\cot(\gamma)$, e chiamiamo $a,b,c$ i lati di un qualsiasi triangolo avente questi tre angoli. Sostituendo nella seconda equazione troviamo:

$\cot^2(\alpha)+1=2\cot^2(\beta)+2 \Rightarrow \dfrac{1}{\sin^2(\alpha)}=\dfrac{2}{\sin^2(\beta)} \Rightarrow b=\sqrt{2}a$

dove l'ultimo passaggio segue dal teorema dei seni; analogamente, dalla terza equazione segue $c=\sqrt{\dfrac{3}{2}}b$, quindi possiamo prendere $(a,b,c)=(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$, da cui $(x,y,z)=\left( \sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$, che è l'unica soluzione insieme alla sua "opposta".
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

Michael Pasquini
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da Michael Pasquini » 02 ott 2018, 22:11

Non ho capito la cosa delle cotangenti, puoi spiegare?

spugna
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da spugna » 12 ott 2018, 22:33

Intendi la parte in cui dico che $\alpha,\beta$ e $\gamma$ sono gli angoli di un triangolo?
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Michael Pasquini
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da Michael Pasquini » 13 ott 2018, 13:23

Si

spugna
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da spugna » 13 ott 2018, 20:52

Allora, si era posto $x=\cot(\alpha)$ e $y=\cot(\beta)$ con $\alpha,\beta \in (0,\pi)$, e si era visto che definendo $\gamma=\pi-\alpha-\beta \in (-\pi,\pi)$ segue $z=\cot(\gamma)$ (che esiste perché $\gamma \neq 0$, altrimenti seguirebbe $\alpha+\beta=\pi$ e quindi $x=-y$, che però rende impossibile la prima equazione). Ora, se $\gamma>0$ ho tre angoli positivi con somma $\pi$, che quindi sono gli angoli di un triangolo; se invece $\gamma<0$, cioè $\alpha+\beta>\pi$, sostituisco $(x,y,z)$ con $(-x,-y,-z)$, che è ancora una soluzione del sistema, e i nuovi angoli sono $\alpha'=\pi-\alpha$, $\beta'=\pi-\beta$ e $\gamma'=\pi-(\pi-\alpha)-(\pi-\beta)=\alpha+\beta-\pi$, che come prima sono tutti positivi e con somma $\pi$.
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Michael Pasquini
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da Michael Pasquini » 14 ott 2018, 21:04

Grazie mille, credo di aver capito

Stefano Romboni
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da Stefano Romboni » 20 gen 2019, 17:00

Lasker ha scritto:
24 mag 2018, 00:40
Trovare tutte le terne di reali $(x,y,z)$ che soddisfano
$$ xy+yz+xz=x^2-2y^2=2y^2-3z^2=1 $$
Quale è la soluzione?

Stefano Romboni
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da Stefano Romboni » 21 gen 2019, 22:00

spugna ha scritto:
26 set 2018, 14:13
Osserviamo che se $(x,y,z)$ è una soluzione, lo è anche $(-x,-y,-z)$. La prima equazione ci dice che, a meno di cambiare i segni, le tre incognite sono le cotangenti degli angoli di un triangolo (dettagli nel testo nascosto)...

Testo nascosto:
Esistono sicuramente $\alpha,\beta \in (0,\pi)$ tali che $x=\cot(\alpha)$ e $y=\cot(\beta)$, e i valori opposti corrispondono a $\pi-\alpha$ e $\pi-\beta$, quindi possiamo supporre $\alpha+\beta<\pi$ (non può essere un'uguaglianza perché seguirebbe $x=-y$, e sostituendo nella prima equazione $x^2=-1$). Definiamo quindi $\gamma=\pi-\alpha-\beta$, e verifichiamo che $z=\cot(\gamma)$ risolve la prima equazione.
Abbiamo quindi $x=\cot(\alpha)$, $y=\cot(\beta)$ e $z=\cot(\gamma)$, e chiamiamo $a,b,c$ i lati di un qualsiasi triangolo avente questi tre angoli. Sostituendo nella seconda equazione troviamo:

$\cot^2(\alpha)+1=2\cot^2(\beta)+2 \Rightarrow \dfrac{1}{\sin^2(\alpha)}=\dfrac{2}{\sin^2(\beta)} \Rightarrow b=\sqrt{2}a$

dove l'ultimo passaggio segue dal teorema dei seni; analogamente, dalla terza equazione segue $c=\sqrt{\dfrac{3}{2}}b$, quindi possiamo prendere $(a,b,c)=(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$, da cui $(x,y,z)=\left( \sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$, che è l'unica soluzione insieme alla sua "opposta".
Ciao, mi potresti dire da cosa hai dedotto che x,y,z erano le cotangenti di un triangolo ?

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Lasker
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da Lasker » 28 gen 2019, 16:10

è una tecnica standard quando nel testo di un problema di algebra (spesso disuguaglianze) vedi cose che rassomigliano ad identità trigonometriche notevoli vere nei triangoli. La più comune in assoluto (o meglio, praticamente l'unica che mi è capitato di usare in problemi olimpici) è "$x+y+z=xyz$ (positivi) suggerisce la sostituzione $x=\tan(\alpha)$ e cicliche", visto che in un triangolo vale $\tan(\alpha)+\tan(\beta)+\tan(\gamma)=\tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\gamma)$ e se guardi è la stessa che utilizza spugna a meno di una sostituzione con i reciproci. Se ti chiedevi come può venire l'idea di seguire questa strada buffa, avendo già visto qualche problema risolvibile con questo approccio non è troppo innaturale.
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Re: Sistema quadratico

Messaggio da Stefano Romboni » 29 gen 2019, 13:52

Lasker ha scritto:
28 gen 2019, 16:10
è una tecnica standard quando nel testo di un problema di algebra (spesso disuguaglianze) vedi cose che rassomigliano ad identità trigonometriche notevoli vere nei triangoli. La più comune in assoluto (o meglio, praticamente l'unica che mi è capitato di usare in problemi olimpici) è "$x+y+z=xyz$ (positivi) suggerisce la sostituzione $x=\tan(\alpha)$ e cicliche", visto che in un triangolo vale $\tan(\alpha)+\tan(\beta)+\tan(\gamma)=\tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\gamma)$ e se guardi è la stessa che utilizza spugna a meno di una sostituzione con i reciproci. Se ti chiedevi come può venire l'idea di seguire questa strada buffa, avendo già visto qualche problema risolvibile con questo approccio non è troppo innaturale.
Grazie mile per la risposta.

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