1000-esima potenza

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Maionsss
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1000-esima potenza

Messaggio da Maionsss » 01 giu 2018, 19:18

Sia [math] il polinomio che si ottiene sviluppando [math] e poi sommando tra loro i termini simili.
Qual è il più grande [math] intero positivo che non supera 1000 e tale che in [math] non c'è il termine di grado [math]?
Testo nascosto:
È consigliabile un approccio con le funzioni generatrici a questo problema o più un approccio con le equazioni diofantee?

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Lasker
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Re: 1000-esima potenza

Messaggio da Lasker » 01 giu 2018, 19:57

Direi generatrici, anche se ci vuole un minimo di esperienza. Per esempio che $1+x^{64}+x^{83}$ va prima scritto "meglio" (almeno per come procederei io)
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

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Re: 1000-esima potenza

Messaggio da Maionsss » 01 giu 2018, 20:25

Quindi se chiamiamo [math] e $ B(x) = 1+ x^{83}+x^{166}+....= \displaystyle\sum_{i\in\mathbb{N}} (x^{83i}) = \frac{1}{1-x^{83}} $ allora l'$ n $ richiesto non è altro che il grado più alto minore di $ 1000 $ del termine di coefficiente $ 0 $ del polinomio $ A(x) B(x) $. Ovvero il più grande $ n $ minore di 1000 per cui l'equazione $ 64k+83i=n $ non ha soluzioni su $ \mathbb{N} $.
Correggimi se sbaglio...

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Lasker
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Re: 1000-esima potenza

Messaggio da Lasker » 01 giu 2018, 20:46

Credo che proseguendo così puoi farcela a finire (a meno che non stia prendendo un granchio) però non sono più convinto che sia più facile che espandere direttamente... magari dopotutto era meglio fare la diofantea a mano :mrgreen:
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Re: 1000-esima potenza

Messaggio da Maionsss » 01 giu 2018, 21:06

Comunque sia accetto ogni tipo di suggerimento :D
Ad esempio tu come avevi intenzione di scrivere "meglio" $ 1+x^{64}+x^{83} $?

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Re: 1000-esima potenza

Messaggio da Lasker » 01 giu 2018, 21:57

Pensavo che dividerlo per $(1+x+x^2)^{1000}=\frac{(1-x^3)^{1000}}{(1-x)^{1000}}$ aiutasse (perché l'ultimo pezzo lo puoi scrivere come prodotto di due sommatorie) ma mi sa che mi sono sbagliato (in particolare ho sbagliato il conto eseguendo la divisione :mrgreen: )
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Re: 1000-esima potenza

Messaggio da Maionsss » 01 giu 2018, 22:39

Sono arrivato ad una formula ricorsiva che però dubito possa aiutarmi nel trovare la soluzione. Comunque sia la scrivo lo stesso.
Testo nascosto:
Abbiamo che [math] Quindi [math].
Allora, vale la formula ricorsiva
[math]

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